Phương trình (1) <=> 3x + 3 = 0

<=> 3x = -3

<=> x = -1

Khi đó x = -1 là nghiệm của phương trình (2)

Thay vào ta được 5 - k(-1) = 0

<=> 5 + k = 0

<=> k = -5

Vậy k = -5 

Có \(x^2+3t^2=1\Leftrightarrow x^2=1-3t^2\le1\) (1)

Lại có \(x^2\ge0\forall x\) (2)

Từ (1) và (2) => \(0\le x^2\le1\)

=> \(x\in\left\{-1;0;1\right\}\) (Vì \(x;t\inℤ\))

Thay x = -1 => t = 0 (tm)

Thay x = 0 =>  \(t=\pm\sqrt{\dfrac{1}{3}}\) (loại)

Thay x = 1 => t = 0 (tm)

Vậy (x,t) = (1;0) ; (-1 ; 0) 

Ta có P = 10a + 3b

= 10a + 35b - 32b

= 5(2a + 7b) - 32b

Vì \(2a+7b⋮32\)

<=> 5(2a + 7b) \(⋮32\)

<=> 5(2a + 7b) - 32b \(⋮32\) (do  \(32b⋮32\forall b\inℤ\))

<=> P \(⋮32\) (ĐPCM) 

Gọi số học sinh khối 7,8,9 lần lượt là a,b,c (a,b,c \(\inℕ^∗\))

Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{3}\\\dfrac{b}{c}=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{1}=\dfrac{b}{3}\\\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{12}\\\dfrac{b}{12}=\dfrac{c}{15}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{12}=\dfrac{c}{15}\)

Lại có mỗi học sinh khối 7,8,9 trung bình làm được lần lượt 

1,2m³ ; 1,4m³ ; 1,6m³ và tổng số đất chở là 912m³ 

Khi đó ta có phương trình

1,2a + 1,4b + 1,6c = 912

<=> 6a + 7b + 8c =  4560 

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta được

\(\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{12}=\dfrac{c}{15}=\dfrac{6a}{24}=\dfrac{7b}{84}=\dfrac{8c}{120}=\dfrac{6a+7b+8c}{24+84+120}=\dfrac{4560}{228}=20\)

Khi đó a = 20.4 = 80 (thỏa mãn)

b = 12.20 = 240 (thỏa mãn)

c = 15.20 = 300 (thỏa mãn) 

Vậy số học sinh khối 7,8,9 lần lượt là 80;240;300 học sinh 

5b) Ta có P = \(\dfrac{x^2+2xy+y^2}{2x^2+2}.\dfrac{y^2+2yz+z^2}{3y^2+3}.\dfrac{z^2+2zx+x^2}{4z^2+4}\)

\(=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2.\left(x^2+1\right)}.\dfrac{\left(y+z\right)^2}{3.\left(y^2+1\right)}.\dfrac{\left(z+x\right)^2}{4.\left(z^2+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x+y\right)^2.\left(y+z\right)^2.\left(z+x\right)^2}{24.\left(x^2+1\right).\left(y^2+1\right).\left(z^2+1\right)}\)

Lại có x² + 1 = x² + xy + yz + zx (vì xy + yz + zx = 1)

= (x² + xy) + (yz + zx) = (x + y)(z + x)

Tương tự y² + 1 = (y + x)(y + z) 

z² + 1 = (z + x)(z + y)

Khi đó

P = \(\dfrac{\left(x+y\right)^2.\left(y+z\right)^2.\left(z+x\right)^2}{24.\left(x+y\right).\left(x+z\right).\left(y+x\right).\left(y+z\right).\left(z+x\right).\left(z+y\right)}=\dfrac{1}{24}\)

Lại có x² + 1 = x² + xy + yz + zx (vì xy + yz + zx = 1)

= (x² + xy) + (yz + zx) = (x + y)(z + x)

Tương tự y² + 1 = (y + x)(y + z) 

z² + 1 = (z + x)(z + y)

Khi đó

P = 

Ta có : \(2^{x+1}.3^y=12^x\)

\(\Leftrightarrow3^y=\dfrac{12^x}{2^{x+1}}=\dfrac{3^x.4^x}{2^{x+1}}=\dfrac{3^x.2^{2x}}{2^{x+1}}=3^x.2^{2x}:2^{x+1}=3^x.2^{x-1}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3^y}{3^x}=2^{x-1}\)

\(\Leftrightarrow3^{y-x}=2^{x-1}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-x=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=1\)(tm) 

Vậy (x;y) = (1;1) nghiệm của phương trình trên 

Gọi thời gian 2 công nhân thứ 1 ; thứ 2 hoàn thành xong công việc một mình là a;b (a;b > 8) (h)

=> 1 giờ mỗi người làm được \(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b}\) (công việc)

2 người làm chung 8 giờ xong 

=> 1 giờ 2 người làm được : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{8}\)(công việc) (1)

Lại có người 2 xong trước người 1 làm một minh là 12 giờ

=> b - a = 12 (giờ) (2) 

Từ (1);(2) hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{8}\\b-a=12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a+12}=\dfrac{1}{8}\\b=a+12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+12a=8.\left(2a+12\right)\\b=a+12\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-4a-96=0\\b=a+12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}a=12\\a=-8\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\\b=a+12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=12\\b=24\end{matrix}\right.\)(t/m)

Vậy....

Vai trò a,b không đổi ta giả sử a > b

Ta có : |ab + 1| > |a - b|

=> |ab + 1|² > |a - b|² 

<=> (ab)² + 2ab + 1 > a² + b² - 2ab

<=> (ab)² - a² - b² + 1 + 4ab > 0

<=> (a² - 1)(b² - 1) + 4ab > 0 (1)

Nếu a \(\ge\) b \(\ge\)1 hay -1 \(\ge\) a \(\ge\) b thì (1) luôn đúng

Nếu -1 \(\le\) b \(\le\) a \(\le\) 1 và ab \(\ge\) 0 thì

(a² - 1)(b² - 1) > 0 ; ab > 0 => (1) luôn đúng 

Nếu -1 \(\le\) b \(\le\) a \(\le\) 1và ab \(\le\) 0  (2)

Khi đó nếu trong 5 số thực đó chỉ có số không âm

=> (2) không xảy ra => (1) luôn đúng 

Nếu dãy trên tồn tại ít nhất một số thực a < 0 hay nhiều hơn 

thì (1) luôn đúng do khi đó luôn tồn tại ít nhất cặp số ab > 0  và (2) không xảy ra 

=> ĐPCM 

Ta có \(p\in P;p>3\) => p lẻ

Đặt p = 3k + 1(k chẵn) ; p = 3k + 2( k lẻ)  

Với p = 3k + 1 

khi đó S = 3k.(3k + 11) \(⋮3\)

lại có k chẵn =>  \(k⋮2\) 

mà (2;3) = 1 => 3k \(⋮6\) 

=> S = 3k(3k + 11) \(⋮6\)

Tương tự với p = 3k + 2

Khi đó S = (3k + 1)(3k + 12) 

= 3(3k + 1)(k + 4) \(⋮3\)

Vì k lẻ nên 3k + 1 chẵn 

=> \(3k+1⋮2\)

=> S \(⋮6\)

=> ĐPCM 

Đổi 10m/s = 36km/h

Chọn mốc thời gian lúc xe máy bắt đầu chuyển động;

chiều dương chuyển động từ A-B

Phương trình tọa độ chuyển động người đi bộ

và xe máy theo thời gian : 

x = \(v_{xđ}.t=4\left(t+\dfrac{1}{2}\right)=4t+2\) (h;km)

x = \(x_0+v.t=14-36t\)

2 xe gặp nhau <=>  \(4t+2=14-36t\Leftrightarrow t=0,3\left(h\right)\)=18 phút 

Gặp nhau lúc 7 giờ 48 phút cách A khoảng x = 4.0,3 + 2 = 3,2 km

b) Ta có khoảng cách chỗ gặp nhau tới B 

d_B = s - d_A = 14 - 3,2 = 10,8(km) 

Khi đó thời gian lúc gặp đến lúc đến B : 

\(\Delta t\) = 8 giờ - 7 giờ 48 phút = 12 phút = 0,2 giờ

Vận tốc cần đi : \(v_B=\dfrac{d_B}{\Delta t}=\dfrac{10,8}{0,2}=54\)(km/h)