a) Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AD$ // $BC$ và $AD=BC$.

Do $AD$ // $BC$ nên $\widehat{ADB}=\widehat{CBD}$ (so le trong)

Xét $\Delta ADH$ và $\Delta CBK$ có:

     $\widehat{AHD}=\widehat{CKB}=90^{\circ }$;

     $AD=BC$ (chứng minh trên);

     $\widehat{ADH}=\widehat{CBK}$ (do $\widehat{ADB}=\widehat{CBD}$).

Do đó $\Delta ADH=\Delta CBK$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $AH=CK$ (hai cạnh tương ứng).

Ta có $AH\perp DB$ và $CK\perp DB$ nên $AH$ // $CK$.

Tứ giác $AHCK$ có $AH$ // $CK$ và $AH=CK$ nên $AHCK$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Do $AHCK$ là hình bình hành (câu a) nên hai đường chéo $AC$ và $HK$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà $I$ là trung điểm của $HK$ (giả thiết) nên $I$ là trung điểm của $AC$.

Do $ABCD$ là hình bình hành nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà $I$ là trung điểm của $AC$ nên $I$ là trung điểm của $BD$, hay $IB=ID$.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE = $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}$AB, CF = DF = $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}$CD

Do đó AE = BE = CF = DF.

Xét tứ giác AEFD có:

     AE // DF (vì AB // CD);

     AE = DF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác AECF có:

     AE // CF (vì AB // CD);

     AE = CF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.

Vậy EF = AD, AF = EC.