Subject: Changes in My Family Hi Hoai, I hope this email finds you well. I wanted to share some recent changes in my family. My sister just started university, and we’re all very proud of her. She’s studying engineering and seems to enjoy it a lot. Meanwhile, my dad got a new job closer to home, so we get to spend more time together, which has been wonderful. My mom has also taken up gardening, and our backyard is now full of beautiful flowers and vegetables. These changes have brought us closer as a family, and I feel really happy about it. How about you? Any updates on your side? Looking forward to hearing from you soon! Best wishes, Dien

Subject: Changes in My Family

Hi H

I hope this email finds you well. I wanted to share some recent changes in my family. My sister just started university, and we’re all very proud of her. She’s studying engineering and seems to enjoy it a lot. Meanwhile, my dad got a new job closer to home, so we get to spend more time together, which has been wonderful. My mom has also taken up gardening, and our backyard is now full of beautiful flowers and vegetables.

These changes have brought us closer as a family, and I feel really happy about it. How about you? Any updates on your side?

Looking forward to hearing from you soon!

Best wishes,
      Dien

1. This is the first time I have made mooncakes for the Mid - Autumn Festival. 2. I had a desire to explore the hidden gems of the city that most tourists miss. 3. Bao wishes he had a big house.

1. This is the first time I have made mooncakes for the Mid - Autumn Festival.

2. I had a desire to explore the hidden gems of the city that most tourists miss. 

3. Bao wishes he had a big house.

1. It has been few years since I moved to this neighbourhood. 2. While I was waiting my food, I noticed a nice painting on the wall

1. It has been few years since I moved to this neighbourhood.

2. While I was waiting my food, I noticed a nice painting on the wall

Đáp án là -3

• Có 7 điểm trong không gian, nối với nhau bởi $21$ đoạn thẳng.
• Các đoạn thẳng có thể được tô màu xanh, đỏ, hoặc không tô màu.
• Hỏi số $k$ nhỏ nhất sao cho nếu tô $k$ đoạn thẳng bất kỳ, luôn tồn tại một tam giác đơn sắc (ba cạnh cùng màu).

Vì bài toán yêu cầu một tam giác đơn sắc (màu xanh hoặc đỏ), ta có thể bỏ qua các đoạn thẳng "không tô màu". Tức là:

• Bài toán trở thành một bài toán tô màu với 2 màu (xanh, đỏ).

• Để tránh một tam giác đơn sắc, ta cần kiểm soát cách tô màu. Nhưng nếu $k$ lớn hơn một giá trị nhất định, tam giác đơn sắc không thể tránh khỏi, vì số lượng đoạn thẳng tô màu và số tam giác tăng lên.

• Có tất cả: C72=21 đoạn thẳng.C_7^2 = 21 \text{ đoạn thẳng.}C72​=21 đoạn thẳng.

• Số tam giác (tổ hợp 3 điểm trong 7 điểm): C73=35 tam giaˊc.C_7^3 = 35 \text{ tam giác.}C73​=35 tam giaˊc.

• Nếu $k=14$ đoạn thẳng:
  • Ta có thể tô màu $14$ đoạn thẳng sao cho không xuất hiện tam giác đơn sắc.
  • Ví dụ: Tô các đoạn thẳng nối các đỉnh trong đồ thị theo chiến lược xen kẽ (một số đoạn xanh và một số đoạn đỏ) để tránh tam giác đơn sắc.

• Nếu $k=15$ đoạn thẳng:
  • Với $15$ đoạn thẳng bất kỳ được tô màu, ta luôn phải có ít nhất một tam giác đơn sắc. Điều này do:
    • Số đoạn thẳng tăng lên, và không thể kiểm soát toàn bộ $35$ tam giác.

• Số $k$ nhỏ nhất sao cho luôn tồn tại tam giác đơn sắc chính là $k=15$.

• Khi tô màu $k=15$ đoạn thẳng bất kỳ, luôn xuất hiện ít nhất một tam giác có ba cạnh cùng màu.
• Đáp án:
  \boxed{15}15​.

Đáp án cuối cùng là 3

• Có 2006 điểm trong không gian, không có 4 điểm nào đồng phẳng, nghĩa là mỗi 3 điểm bất kỳ đều tạo thành một tam giác.
• Các điểm này được nối với nhau bởi đoạn thẳng, tổng số đoạn thẳng là: C20062=2006×20052.C_{2006}^2 = \frac{2006 \times 2005}{2}.C20062​=22006×2005​.
• Một số $m$ được gọi là "số tốt" nếu ta có thể gán một số tự nhiên (không vượt quá $m$) cho mỗi đoạn thẳng sao cho bất kỳ tam giác nào đều thỏa mãn: có hai cạnh được gán bằng nhau và cạnh thứ ba được gán giá trị lớn hơn hai giá trị đó.

2. Điều kiện của tam giác: Để thỏa mãn điều kiện, các cạnh của tam giác ($a,b,c$) phải có:

• $a=b<c$, hoặc
• $b=c<a$, hoặc
• $c=a<b$.

Điều này dẫn đến mỗi tam giác phải có hai cạnh bằng nhau và cạnh còn lại lớn hơn.

3. Chiến lược gán số: Ta cần xác định giá trị nhỏ nhất của $m$ sao cho với mỗi đoạn thẳng được gán một số từ 1 đến $m$, điều kiện trên luôn được thỏa mãn.

4. Lập luận:

• Số lượng tam giác trong không gian là: C20063=2006×2005×20046.C_{2006}^3 = \frac{2006 \times 2005 \times 2004}{6}.C20063​=62006×2005×2004​.
• Với mỗi tam giác, các cạnh được chọn từ tập số tự nhiên $\{1,2,\dots ,m\}$. Để đảm bảo luôn tồn tại hai cạnh bằng nhau và một cạnh lớn hơn hai cạnh đó, ta cần sử dụng một kỹ thuật phân loại hoặc gán số phù hợp.

5. Tính toán giá trị nhỏ nhất của $m$:

• Gán số $1,2,\dots ,m$ cho các đoạn thẳng sao cho mọi tam giác thỏa mãn điều kiện trên. Điều này tương tự như giải bài toán tổ hợp màu sắc để phân biệt các cạnh tam giác.
• Số $m$ cần phải đủ lớn để cho phép mọi tổ hợp ba cạnh ($a,b,c$) thỏa mãn $a=b<c$, $b=c<a$, hoặc $c=a<b$.

6. Kết luận: Qua lý thuyết đồ thị và các bài toán tương tự, ta biết rằng số tốt nhỏ nhất $m$ là 3. Điều này nghĩa là:

• Ta gán số 1, 2, hoặc 3 cho mỗi đoạn thẳng.
• Bất kỳ tam giác nào cũng sẽ có hai cạnh bằng nhau và cạnh còn lại lớn hơn, thỏa mãn bài toán.

Đáp án cuối cùng: 3