Để chứng minh rằng �A chia hết cho �+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021, ta cần làm rõ các biểu thức trong câu hỏi:

• �=�+�2+�3+⋯+�2024A=a+a2+a3+⋯+a2024 là tổng của chuỗi số mũ từ �1a1 đến �2024a2024.
• Biểu thức cần chứng minh là �A chia hết cho �+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021, tức là chuỗi các lũy thừa của �a với bậc là các số chia hết cho 4, bắt đầu từ �1a1.

Bước 1: Viết lại tổng �A

Tổng �A có dạng:

�=�+�2+�3+⋯+�2024A=a+a2+a3+⋯+a2024

Đây là một tổng các lũy thừa của �a từ �1a1 đến �2024a2024.

Bước 2: Viết lại tổng cần chia hết

Biểu thức cần chứng minh chia hết cho �+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021 có dạng là chuỗi số lũy thừa của �a, với các chỉ số lũy thừa là 1,5,9,…,20211,5,9,…,2021. Chuỗi này có thể được viết dưới dạng:

�+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021

Chuỗi này có bậc số mũ là các bội số của 4 cộng thêm 1.

Bước 3: Quan sát cấu trúc của tổng �A

Tổng �A có các hạng tử �1,�2,…,�2024a1,a2,…,a2024, và nó bao gồm tất cả các lũy thừa của �a từ �1a1 đến �2024a2024. Chia tổng �A thành ba phần:

1. Các hạng tử có chỉ số lũy thừa là 1,5,9,…,20211,5,9,…,2021 (theo mẫu trong chuỗi �+�5+�9+…a+a5+a9+…).
2. Các hạng tử còn lại của tổng �A có chỉ số lũy thừa là 2,3,6,7,10,11,…,20242,3,6,7,10,11,…,2024.

Quan trọng là nhận thấy rằng tổng �A có thể chia thành các nhóm con tương ứng với các nhóm bậc số mũ, trong đó có nhóm các hạng tử giống với chuỗi �+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021, còn lại là các hạng tử không ảnh hưởng đến kết quả chứng minh.

Bước 4: Kết luận

Vì các nhóm hạng tử từ �1,�5,�9,…,�2021a1,a5,a9,…,a2021 là một phần của tổng �A, do đó, �A chia hết cho �+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021.

Vậy ta đã chứng minh được rằng �A chia hết cho �+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021.

Để chứng minh rằng �A chia hết cho �+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021, ta cần làm rõ các biểu thức trong câu hỏi:

• �=�+�2+�3+⋯+�2024A=a+a2+a3+⋯+a2024 là tổng của chuỗi số mũ từ �1a1 đến �2024a2024.
• Biểu thức cần chứng minh là �A chia hết cho �+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021, tức là chuỗi các lũy thừa của �a với bậc là các số chia hết cho 4, bắt đầu từ �1a1.

Bước 1: Viết lại tổng �A

Tổng �A có dạng:

�=�+�2+�3+⋯+�2024A=a+a2+a3+⋯+a2024

Đây là một tổng các lũy thừa của �a từ �1a1 đến �2024a2024.

Bước 2: Viết lại tổng cần chia hết

Biểu thức cần chứng minh chia hết cho �+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021 có dạng là chuỗi số lũy thừa của �a, với các chỉ số lũy thừa là 1,5,9,…,20211,5,9,…,2021. Chuỗi này có thể được viết dưới dạng:

�+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021

Chuỗi này có bậc số mũ là các bội số của 4 cộng thêm 1.

Bước 3: Quan sát cấu trúc của tổng �A

Tổng �A có các hạng tử �1,�2,…,�2024a1,a2,…,a2024, và nó bao gồm tất cả các lũy thừa của �a từ �1a1 đến �2024a2024. Chia tổng �A thành ba phần:

1. Các hạng tử có chỉ số lũy thừa là 1,5,9,…,20211,5,9,…,2021 (theo mẫu trong chuỗi �+�5+�9+…a+a5+a9+…).
2. Các hạng tử còn lại của tổng �A có chỉ số lũy thừa là 2,3,6,7,10,11,…,20242,3,6,7,10,11,…,2024.

Quan trọng là nhận thấy rằng tổng �A có thể chia thành các nhóm con tương ứng với các nhóm bậc số mũ, trong đó có nhóm các hạng tử giống với chuỗi �+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021, còn lại là các hạng tử không ảnh hưởng đến kết quả chứng minh.

Bước 4: Kết luận

Vì các nhóm hạng tử từ �1,�5,�9,…,�2021a1,a5,a9,…,a2021 là một phần của tổng �A, do đó, �A chia hết cho �+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021.

Vậy ta đã chứng minh được rằng �A chia hết cho �+�5+�9+⋯+�2021a+a5+a9+⋯+a2021.

Để tính giá trị của biểu thức �=22024−22023−22022−⋯−26−25M=22024−22023−22022−⋯−26−25, ta có thể biến đổi và nhóm lại các hạng tử.

Bước 1: Viết lại biểu thức

Biểu thức ban đầu là:

�=22024−(22023+22022+⋯+26+25)M=22024−(22023+22022+⋯+26+25)

Ở đây, phần trừ là một chuỗi các lũy thừa của 2 từ 2525 đến 2202322023.

Bước 2: Tính tổng chuỗi

Chuỗi 22023+22022+⋯+26+2522023+22022+⋯+26+25 là một chuỗi số hình học, với:

• �=25a=25 là hạng tử đầu tiên,
• �=2r=2 là tỷ số chung,
• Số hạng cuối cùng là 2202322023.

Tổng của chuỗi hình học này có công thức:

�=�⋅��−1�−1S=a⋅r−1rn−1​

Trong đó:

• �n là số hạng của chuỗi, ta có �=2023−5+1=2019n=2023−5+1=2019,
• �=25a=25 và �=2r=2.

Vậy ta có tổng chuỗi là:

�=25⋅22019−12−1=25⋅(22019−1)S=25⋅2−122019−1​=25⋅(22019−1)�=25⋅22019−25=22024−25S=25⋅22019−25=22024−25

Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu

Giờ ta thay tổng chuỗi �S vào biểu thức ban đầu:

�=22024−(22024−25)M=22024−(22024−25)�=22024−22024+25M=22024−22024+25�=25M=25

Vậy giá trị của �M là:

�=32M=32

Kết luận:

Giá trị của �M là 32.

1. In New Year's Eve, each family kills a rooster → On New Year's Eve, each family kills a rooster.
2. Big cities are much more better than the countryside → Big cities are much better than the countryside.
3. I must to go to the bank and get some money → I must go to the bank and get some money.
4. The believe that the first footer decides the family’s lucky → They believe that the first footer decides the family’s luck.
5. Would you like me turn off your computer? → Would you like me to turn off your computer?
6. My parents always say that i take things without asking → My parents always say that I take things without asking.

• Hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều $ABC$, với cạnh $AB=BC=CA=3$.
• $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.
• Điểm $G^{\prime }$ là phép chiếu song song của $G$ lên mặt phẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ theo phương $A{A}^{\prime }$.

Mục tiêu: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $G^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Trọng tâm $G$ của tam giác đều $ABC$ là điểm giao nhau của ba trung tuyến, và có tính chất là chia mỗi trung tuyến thành tỉ lệ 2:1, với phần dài hơn ở phía đỉnh của tam giác.

Giả sử tam giác $ABC$ có các điểm $A(0,0)$, $B(3,0)$, và $C\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2},\genfrac{}{}{0ex}{}{3\sqrt{3}}{2}\right)$. Ta tính trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ bằng cách lấy trung bình tọa độ của các đỉnh:

$$G=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0+3+\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}}{3},\genfrac{}{}{0ex}{}{0+0+\genfrac{}{}{0ex}{}{3\sqrt{3}}{2}}{3}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{6},\genfrac{}{}{0ex}{}{3\sqrt{3}}{6}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2},\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{3}}{2}\right)$$

Điểm $G^{\prime }$ là phép chiếu của điểm $G$ lên mặt phẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ theo phương $A{A}^{\prime }$. Vì $A{A}^{\prime }$ là phương vuông góc với đáy $ABC$, phép chiếu này sẽ giữ nguyên vị trí của $G$ trong mặt phẳng đáy.

Do đó, tọa độ của $G^{\prime }$ sẽ có cùng tọa độ $G$ trong mặt phẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, tức là:

$$G^{\prime }=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2},\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{3}}{2},h\right)$$

Trong đó, $h$ là chiều cao của hình lăng trụ, nhưng do vấn đề chỉ yêu cầu bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $G^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, ta không cần biết giá trị cụ thể của $h$.

Vì tam giác $B^{\prime }{C}^{\prime }{G}^{\prime }$ có các cạnh là ba đoạn thẳng trong không gian, với các đỉnh $G^{\prime }$, $B^{\prime }$, và $C^{\prime }$ là các điểm trong mặt phẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, ta có thể tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác này bằng công thức:

$$R=\genfrac{}{}{0ex}{}{abc}{4A}$$

Trong đó:

• $a$, $b$, $c$ là độ dài các cạnh của tam giác $G^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$,
• $A$ là diện tích của tam giác $G^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Vì tam giác $G^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là tam giác vuông đều, nên bán kính đường tròn ngoại tiếp của nó sẽ bằng $\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{\sqrt{3}}$, với $a=3$.

Vậy bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $G^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là:

$$R=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.$$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $G^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là $\sqrt{3}$.

• Hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều $ABC$, với cạnh $AB=BC=CA=3$.
• $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.
• Điểm $G^{\prime }$ là phép chiếu song song của $G$ lên mặt phẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ theo phương $A{A}^{\prime }$.

Mục tiêu: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $G^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Trọng tâm $G$ của tam giác đều $ABC$ là điểm giao nhau của ba trung tuyến, và có tính chất là chia mỗi trung tuyến thành tỉ lệ 2:1, với phần dài hơn ở phía đỉnh của tam giác.

Giả sử tam giác $ABC$ có các điểm $A(0,0)$, $B(3,0)$, và $C\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2},\genfrac{}{}{0ex}{}{3\sqrt{3}}{2}\right)$. Ta tính trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ bằng cách lấy trung bình tọa độ của các đỉnh:

$$G=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0+3+\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}}{3},\genfrac{}{}{0ex}{}{0+0+\genfrac{}{}{0ex}{}{3\sqrt{3}}{2}}{3}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{6},\genfrac{}{}{0ex}{}{3\sqrt{3}}{6}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2},\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{3}}{2}\right)$$

Điểm $G^{\prime }$ là phép chiếu của điểm $G$ lên mặt phẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ theo phương $A{A}^{\prime }$. Vì $A{A}^{\prime }$ là phương vuông góc với đáy $ABC$, phép chiếu này sẽ giữ nguyên vị trí của $G$ trong mặt phẳng đáy.

Do đó, tọa độ của $G^{\prime }$ sẽ có cùng tọa độ $G$ trong mặt phẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, tức là:

$$G^{\prime }=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2},\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{3}}{2},h\right)$$

Trong đó, $h$ là chiều cao của hình lăng trụ, nhưng do vấn đề chỉ yêu cầu bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $G^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, ta không cần biết giá trị cụ thể của $h$.

Vì tam giác $B^{\prime }{C}^{\prime }{G}^{\prime }$ có các cạnh là ba đoạn thẳng trong không gian, với các đỉnh $G^{\prime }$, $B^{\prime }$, và $C^{\prime }$ là các điểm trong mặt phẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, ta có thể tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác này bằng công thức:

$$R=\genfrac{}{}{0ex}{}{abc}{4A}$$

Trong đó:

• $a$, $b$, $c$ là độ dài các cạnh của tam giác $G^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$,
• $A$ là diện tích của tam giác $G^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Vì tam giác $G^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là tam giác vuông đều, nên bán kính đường tròn ngoại tiếp của nó sẽ bằng $\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{\sqrt{3}}$, với $a=3$.

Vậy bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $G^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là:

$$R=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.$$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $G^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là $\sqrt{3}$.

Giả sử giá niêm yết của sách Toán là $x$ và giá niêm yết của sách Văn là $y$.

Dữ liệu:

• Tổng giá niêm yết của 2 quyển sách: $x+y=270,000$₫.
• Sách Toán giảm 10%, tức là An chỉ phải trả $90\%$ giá của sách Toán, nên số tiền An phải trả cho sách Toán là $0.9x$.
• Sách Văn giảm 20%, tức là An chỉ phải trả $80\%$ giá của sách Văn, nên số tiền An phải trả cho sách Văn là $0.8y$.
• Tổng số tiền An phải trả là 228,000₫, nên ta có phương trình:$$0.9x+0.8y=228,000$$

Giải hệ phương trình:

1. $x+y=270,000$
2. $0.9x+0.8y=228,000$

Bước 1: Giải phương trình đầu tiên tìm $y$:

Từ phương trình (1), ta có:

Bước 2: Thay $y$ vào phương trình (2):

Thay $y=270,000-x$ vào phương trình (2):

Giải phương trình:

Bước 3: Tính $y$:

Thay giá trị $x=120,000$ vào phương trình $x+y=270,000$:

Kết quả:

• Giá niêm yết của sách Toán là 120,000₫.
• Giá niêm yết của sách Văn là 150,000₫.

Jupiter is the fifth planet from the Sun and the largest planet in our solar system. It is a giant gas planet, with a day lasting only ten Earth hours and a year taking twelve Earth years. Jupiter is known for its striking stripes and the Great Red Spot, a massive storm that is three and a half times bigger than Earth. Since 1979, nine spacecraft have visited Jupiter, and currently, the spacecraft "Juno" is orbiting the planet, studying its atmosphere and other features. Jupiter's immense size and fascinating characteristics make it a unique and important object of study in our solar system.