a) xét \(\Delta HBM\) vuông tại \(H\)và \(\Delta KCM\)vuông tại \(K\) ta có:

\(\widehat{HMB}=\widehat{KMC}\) ( 2 góc đối đỉnh)

\(BM=MC\) ( giả thiết)

\(\Rightarrow\Delta\) vuông \(HBM=\Delta\) vuông \(KCM\) ( cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow BH=CK\)( 2 cạnh tương ứng)

vậy \(BH=CK\)

b) theo câu a) \(\Delta HBM=\Delta KCM\)

\(\Rightarrow\) \(MH=MK\) ( 2 cạnh tương ứng)

xét \(\Delta HCM\)và \(\Delta KBM\)có :

\(MH=MK\)( cmt)

\(BM=MC\)

\(\widehat{HMC}=\widehat{KMB}\) ( 2 góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta HCM=\Delta KBM\)  \(\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{HCM}=\widehat{KBM}\) ( 2 goc tương ứng)

\(\Rightarrow HC\)song song \(BK\) ( 2 góc bằng nhau ở vị trí so le trong)

vậy \(HC\)song song \(BK\)

a, Xét hai tam giác vuông BHM và CKM có:

góc BMH = góc CMK (đối đỉnh)

MB = MC (gt)

Vậy tam giác BHM = tam giác CKM (cạnh huyền - góc nhọn)

=> BH = CK (2 cạnh tương ứng)

b, Vì tam giác BHM = tam giác CKM => MH = MK (2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác BMK và tam giác CMH có:

MB = MC (gt)

góc BMK = góc CMH (đối đỉnh)

MH = MK (cmt)

Vậy tam giác BMK = tam giác CMH (c.g.c)

=> góc MBK = góc MCH (2 góc tương ứng)

Mà góc MBK và góc MCH là 2 góc so le trong

=> BK // CH

do n > 3 => 2^n >= 2^4 chia hết cho 16 => 10a + b chia hết cho 16 

Ta có 2^n có thể có những tân cùng là 2; 4; 6; 8 

TH1 2^n có tận cùng là 2 => n = 4k+1 

=> 10a + b có tận cùng là 2 => b = 2 ( do b < 10) 

ta có 2^n = 10a + 2 => 2( 2^(4k) - 1) = 10a => 2^( 4k) - 1 = 5a 

do 2^(4k) - 1 chia hết cho 3 => 5a chia hết cho 3 => a chia hết cho 3 

=> a.b = a.2 chia hết cho 6 (1) 

TH2 2^n có tận cùng là 4 => n = 4k +2 

=> 2^n = 10a + b có tận cùng là 4 => b = 4( do b <10) 

=> 2^(4k +2) = 10a + 4 => 4.2^(4k) - 4 = 10a 

=> 4(2^4k - 1) = 10 a 

ta có 2 ^4k -1chia hết cho 3 => 10a chia hết cho 3 => a chia hết cho 3 

=> a.b chia hết cho 6 (2) 

Th3 2^n có tận cùng là 8 => n = 4k +3 

TH 3 2^n có tận cùng là 6 => n = 4k 

bằng cách làm tương tự ta luôn có a.b chia hết cho 6

\(S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)

\(=1-\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{3^2}+1-\frac{1}{4^2}+...+1-\frac{1}{n^2}\)

\(=\left(1+1+1+...+1\right)+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\)

\(=n+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)< n\left(1\right)\)

Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}=1-\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)

...........

\(\frac{1}{n^2}< \frac{1}{\left(n-1\right)n}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n}< 1\)

\(\Rightarrow-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+....+\frac{1}{n^2}\right)>-1\)

\(\Rightarrow S=n+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)>n+\left(-1\right)=n-1\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => n - 1 < S < n 

Mà n - 1 và n là 2 số liên tiếp 

Vậy ....

3y + x = x : y = 5 . ( x + y )

Ta có : 

3y + x = 5 . ( x + y )

3y + x = 5x + 5y

3y - 5y = 5x - x

-2y = 4x

\(\frac{x}{y}=\frac{-2}{4}=\frac{-1}{2}\)

\(\Rightarrow5.\left(x+y\right)=\frac{-1}{2}\)

\(\Rightarrow x+y=\frac{-1}{10}\)

Mà 3y + x = \(\frac{-1}{2}\)

2y + ( y + x ) = \(\frac{-1}{2}\)

2y + \(\frac{-1}{10}=\frac{-1}{2}\)

\(2y=\frac{-1}{2}-\frac{-1}{10}\)

\(2y=\frac{-2}{5}\)

\(y=\frac{-2}{5}:2=\frac{-1}{5}\)

\(\Rightarrow x=\frac{-1}{10}-\frac{-1}{5}=\frac{1}{10}\)

Vậy x = \(\frac{1}{10}\); y = \(\frac{-1}{5}\)

Số số hạng : ( 998 - 10 ) : 2 + 1 = 495

Tổng : ( 998 + 10 ) . 495 : 2 = 249480

Vậy D = 249480

công thức :

Số số hạng : ( 999 - 1 ) : 2 + 1 = 500

Tổng : ( 999 + 1 ) . 500 : 2 = 250000

Vậy C = 250000

Từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500 số lẻ. Áp dụng các bài trên ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + ... + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng trên có 250 cặp số)

a) xét tam giác AMD và tam giác CMB có :

AM = CM ( vì Mlaf trung điểm của AC)

\(\widehat{AMD}=\widehat{CMB}\)(đối đỉnh)

MD = MB (gt)

=> tam giác AMD = tam giác CMB (c-g-c)

xét tam giác ANE và tam giác BNC có :

AN = BN ( vì N là trung điểm của AB)

\(\widehat{ANE}=\widehat{BNC}\)(đối đỉnh)

NE = CN (gt)

=> tam giác ANE = tam giác BNC (c-g-c)

b) vì tam giác AMD = tam giác CMB (cmt) => AD = BC (2 cạnh tương ứng)(1)

vì tam giác ANE = tam giác BNC (cmt) => AE = BC ( 2 cạnh tương ứng) (2)

từ (1), (2) => AD = AE (đpcm)

c) Vì tam giác AMD = tam giác CMB (cmt) => \(\widehat{MAD}=\widehat{MCB}\)(2 góc tương ứng)

mà \(\widehat{MAD}\)và \(\widehat{MCB}\)ở vị trí so le trong

do đó AD // BC (3)

Vì tam giác ANE = tam giác BNC (cmt) => \(\widehat{NAE}=\widehat{NBC}\)(2 góc tương ứng)

mà \(\widehat{NAE}\)và  \(\widehat{NBC}\) ở vị trí so le trong

do đó AE // BC (4)

từ (3), (4) => A, E, D thẳng hàng (đpcm)