Ta có:

a + b = 1

<=> a² + 2ab + b² = 1

<=> 5 + 2ab = 1

<=> ab = - 2

\(\Leftrightarrow a=\frac{-2}{b}\)

Thế cái này vô P là ra ah. B làm tiếp nhé

\(P=\frac{x-4}{x^2+x-12}=\frac{x-4}{x^2+4x-3x-12}=\frac{x-4}{\left(x-3\right)\left(x+4\right)}\)

ĐKXĐ: \(\left(x-3\right)\left(x+4\right)\ne0\) =>  \(\hept{\begin{cases}x-3\ne0\\x+4\ne0\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}x\ne3\\x\ne-4\end{cases}}\)

a, x² - 3x = 0

=> x(x - 3) = 0

=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x-3=0\end{cases}}\)

=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=3\end{cases}}\)

Mà \(\hept{\begin{cases}x\ne3\\x\ne-4\end{cases}}\)

=> x = 0

=> \(P=\frac{0-4}{\left(0-3\right)\left(0+4\right)}=\frac{-4}{\left(-3\right).4}=\frac{1}{3}\)

b, Với \(\hept{\begin{cases}x\ne3\\x\ne-4\end{cases}}\)

\(P.\left(x+4\right)=\frac{2}{3}\)

=> \(\frac{x-4}{\left(x-3\right)\left(x+4\right)}.\left(x+4\right)=\frac{2}{3}\)

=> \(\frac{x-4}{x-3}=\frac{2}{3}\)

=> \(2\left(x-3\right)=3\left(x-4\right)\)

=> 2x - 6 = 3x  - 12

=> -x = -6

=> x = 6 (TM ĐKXĐ)

c, Với \(\hept{\begin{cases}x\ne3\\x\ne-4\end{cases}}\)

\(P\left(x-3\right)\)có giá trị nguyên

=> \(\frac{x-4}{\left(x-3\right)\left(x+4\right)}.\left(x-3\right)\)nguyên

=> \(\frac{x-4}{x+4}\)nguyên

=> x - 4 chia hết cho x + 4

<=> x + 4 - 8 chia hết cho x + 4

Có x + 4 chia hết cho x + 4

=> 8 chia hết cho x + 4

=> x + 4 thuộc Ư(8)

=> x + 4 thuộc {1; -1; 2; -2; 4; -4; 8; -8}

=> x thuộc {-3; -5; -2; -6; 0; -8; 4; -12}

Cứ áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông là ra ah

8 đúng 100%

\(g\left(x\right)=x^2+x-2=x^2+2x-x-2\)

=> \(g\left(x\right)=x\left(x+2\right)-\left(x+2\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\)

Gọi thương của pháp chia là Q(x)

=> \(f\left(x\right)=g\left(x\right).Q\left(x\right)\)

=> \(x^3-2x^2-5x+10+2a=\left(x+2\right)\left(x-1\right).Q\left(x\right)\)

- Thay x = -2

=> \(\left(-2\right)^3-2.\left(-2\right)^2-5.\left(-2\right)+10+2a=\left(-2+2\right)\left(-2-1\right).Q\left(x\right)\)

=> \(4+2a=0\)

=> \(2a=-4\)

=> \(a=-2\)

- Thay x = 1

=> \(1^3-2.1^2-5.2+10+2a=\left(1+2\right)\left(1-1\right).Q\left(x\right)\)

=> \(1+2a=0\)

=> \(2a=-1\)

=> \(a=-0,5\)

KL: \(a\in\left\{-2;-0,5\right\}\)

Lời giải chưa hay đâu bạn Trần Thị Kim Ngân.

Để ý một chút sẽ thấy \(A\) là một đa thức bậc 2 theo biến \(x\), nên ta gọi là \(A\left(x\right)\) cho đúng kiểu đa thức.

\(A\left(a\right)=1\) (nghĩa là thay \(x\) bằng \(a\) được kết quả là \(1\)).

Tương tự \(A\left(b\right)=A\left(c\right)=1\).

-----

Hừm, từ chỗ này về sau không biết bạn hiểu không.

Gọi \(f\left(x\right)=A\left(x\right)-1\) vẫn là một đa thức bậc 2, và \(f\left(a\right)=f\left(b\right)=f\left(c\right)=0\) tức là \(f\left(x\right)\) có 3 nghiệm \(x=1,x=b,x=c\).

Tuy nhiên, một đa thức bậc 2 thì chỉ có tối đa 2 nghiệm thôi, nếu nhiều hơn thì đa thức đó luôn bằng 0, nghĩa là \(f\left(x\right)=0\) với mọi \(x\).

Vậy \(A=1\).

Ta có:

\(A=\frac{\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(c-b\right)+\left(x-c\right)\left(x-a\right)\left(a-c\right)+\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(b-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(A=\frac{\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(c-b\right)+\left(x-c\right)\left(x-a\right)\left(a-c\right)-\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left[\left(c-b\right)+\left(a-c\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(A=\frac{\left(x-b\right)\left(c-b\right)\left(x-c-x+a\right)+\left(x-a\right)\left(a-c\right)\left(x-c-x-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(A=\frac{\left(x-b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)+\left(x-a\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{\left(a-c\right)\left(c-b\right)\left(x-b-x+a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(A=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=1\)

Xét\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)

\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số không âm: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)ta có:

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{ba}}\)

=> \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Chứng minh tương tự

=> \(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\)

\(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\)

=> \(3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge3+2+2+2\)

=> \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)(Đpcm)

Dấu "=" xảy ra<=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{b}{a}\\\frac{a}{c}=\frac{c}{a}\\\frac{b}{c}=\frac{c}{b}\end{cases}}\)<=> a = b = c

Dài thế. Áp dụng cosi swat là được mà

Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}\)

chia vế trái cho ab ta được :

\(\frac{VT}{ab}=\frac{a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}}{ab}\)        

         \(=\frac{\sqrt{b-1}}{b}+\frac{\sqrt{a-1}}{a}\)

   Áp dụng BĐT cauchy cho hai số không âm

\(a=\left(a+1\right)-1\ge2\sqrt{a-1}\Rightarrow\frac{\sqrt{a-1}}{a}\le\frac{1}{2}\)

\(b=\left(b+1\right)-1\ge2\sqrt{b-1}\Rightarrow\frac{\sqrt{b-1}}{b}\le\frac{1}{2}\)   

Cộng theo vế ta được \(\frac{\sqrt{a-1}}{a}+\frac{\sqrt{b-1}}{b}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)

                         \(\Leftrightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a-1=1\\b-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=2\)

Với a = 5, b = 2 thì

VT = 5.1 + 2.2 = 9 < 2.5 = 10

Vậy đề sai