Ta chứng minh bổ đề sau:

\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ca}{2b^2+ca}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)

Ta có:

\(VT=\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{c^2a^2}{2b^2ca+c^2a^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{a^2b^2+2abc^2+b^2c^2+2bca^2+c^2a^2+2cab^2}\)

\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=1\left(đung\right)\)

Ta lại có:

\(\frac{9a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}=\frac{\left(a+a+a\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(2a^2+bc\right)+\left(2a^2+bc\right)}\)

\(\le\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^2}{2a^2+bc+\left(2a^2+bc\right)}+\frac{a^2}{2a^2+bc}\)

\(=\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2a^2}{2a^2+bc+\left(2a^2+bc\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}\le\frac{1}{9}\left(\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2a^2}{2a^2+bc}\right)\)

Từ đó ta có:

\(VT\le\frac{1}{9}\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2a^2}{2a^2+bc}+\frac{2b^2}{2b^2+ca}+\frac{2c^2}{2c^2+ab}\right)\)

\(=\frac{1}{9}\left(1+3-\frac{bc}{2a^2+bc}-\frac{ca}{2b^2+ca}-\frac{ab}{2c^2+ab}\right)\)

\(\le\frac{1}{9}\left(1+3-1\right)=\frac{1}{3}\)

hình 1 : cho tam giác ABC vuông tại A, hạ đường cao AH, H thuộc BC 

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường AH

* Áp dụng hệ thức : \(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=y=\frac{AB^2}{BC}=\frac{225}{17}\)cm 

=> \(CH=x=BC-y=17-\frac{225}{17}=\frac{64}{17}\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AC^2=c=CH.BC=\frac{64}{17}.17=64\Rightarrow AC=8\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=h=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{15.8}{17}=\frac{120}{17}\)cm 

tương tự hình 2 ; 3 

làm ko làm nốt luôn đi

dùng đã bt rồi nhưng cần kết quả để so sánh sai ở đâu

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)

áp dụng cô si ta có : \(\hept{\begin{cases}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge3\cdot3\cdot\sqrt[3]{a^3b^3c^3}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\left(đpcm\right)\)

a) 1/a + 1/b + 1/c ≥ 9/(a+b+c)
<=> (1/a + 1/b + 1/c )(a+b+c) ≥ 9
Ta có : 1/a + 1/b + 1/c ≥ 3.căn bậc 3 1/abc
a+b+c ≥ 3 căn bậc 3 abc
(1/a + 1/b + 1/c)(a+c+c) ≥ 9 căn bậc 3 abc/abc = 9
<=> 1/a + 1/b + 1/c ≥ 9(a+b+c)

Hok tốt !!!!!!!!!!!

\(D=\left(x+1\right)^2+\left(2x+2\right)^2+5\)

\(=x^2+2x+1+4x^2+8x+4+5=5x^2+10x+5+5\)

\(=5\left(x^2+2x+1\right)+5=5\left(x+1\right)^2+5\ge5\)

Dấu ''='' xảy ra khi x = -1

Vậy GTNN của D bằng 5 tại x = -1

Bài 3 : 

a, Để hàm số (*) là hàm số bậc nhất khi \(m-2\ne0\Leftrightarrow m\ne2\)

b, Để hàm số (*) là hàm số đồng biến khi \(m-2>0\Leftrightarrow m>2\)

c, hàm số (*) đi qua điểm A(-2;3) <=>

 \(-2\left(m-2\right)+2m-1=3\Leftrightarrow-2m+4+2m-1=3\)( luôn đúng )

Vậy ...

\(\sqrt{\frac{1}{7}}+\frac{1}{7}\sqrt{28}-\sqrt{\left(\sqrt{7}-3\right)^2}\)

\(=\frac{\sqrt{7}}{7}+\frac{\sqrt{7.4}}{7}-\sqrt{\left(3-\sqrt{7}\right)^2}\)

\(=\frac{3\sqrt{7}}{7}-3+\sqrt{7}=\frac{3\sqrt{7}-21+7\sqrt{7}}{7}=\frac{10\sqrt{7}-21}{7}\)

\(=\frac{\sqrt{7}}{7}+\frac{2\sqrt{7}}{7}-|\sqrt{7}-3|\)   

\(=\frac{3\sqrt{7}}{7}-\left(3-\sqrt{7}\right)\)   

\(=\frac{3\sqrt{7}}{7}-3+\sqrt{7}\)

\(=\frac{3\sqrt{7}}{7}-\frac{21}{7}+\frac{7\sqrt{7}}{7}\)

\(=\frac{10\sqrt{7}-21}{7}\)