a, Gọi I là trung điểm AB 

Xét tam giác AEB vuông tại E, I là trung điểm 

=> \(EI=AI=IB=\frac{AB}{2}\)(1) 

Xét tam giác ADB vuông tại D, I là trung điểm 

=> \(DI=AI=IB=\frac{AB}{2}\)(2) 

Từ (1) ; (2) => A ; D ; B ; F cùng nằm trên đường tròn (I;AB/2)

b, Gọi O là trung điểm AC 

Xét tam giác AFC vuông tại F, O là trung điểm 

=> \(FO=AO=CO=\frac{AC}{2}\)(3) 

Xét tam giác CDA vuông tại D, O là trung điểm 

=> \(DO=AO=CO=\frac{AC}{2}\)(4) 

Từ (3) ; (4) => A ; D ; C ; F cùng nằm trên đường tròn (O;AC/2)

c, Gọi T là trung điểm BC

Xét tam giác BFC vuông tại F, T là trung điểm 

=> \(FT=BT=CT=\frac{BC}{2}\)(5) 

Xét tam giác BEC vuông tại E, T là trung điểm 

=> \(ET=BT=CT=\frac{BC}{2}\)(6) 

Từ (5) ; (6) => B ; C ; E ; F cùng nằm trên đường tròn (T;BC/2)

a, Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

Theo định lí Pytago ta có : \(BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow14884=\left(\frac{5}{6}AC\right)^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow14884=\frac{25AC^2}{36}+AC^2=\frac{61}{36}AC^2\Rightarrow AC^2=14884:\frac{61}{36}=8784\Rightarrow AC=12\sqrt{61}\)cm 

\(\Rightarrow AB=\frac{5.12\sqrt{61}}{6}=10\sqrt{61}\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=50\)cm 

b, Vì BI là đường phân giác => \(\frac{AB}{BC}=\frac{AI}{CI}\Rightarrow\frac{CI}{BC}=\frac{AI}{AB}\)

Theo tc dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{CI}{BC}=\frac{AI}{AB}=\frac{AC}{BC+AB}=\frac{12\sqrt{61}}{122+10\sqrt{61}}\)

\(\Rightarrow CI=\frac{12\sqrt{61}}{122+10\sqrt{61}}BC=\frac{1464\sqrt{61}}{122+10\sqrt{61}}\)cm 

\(\Rightarrow IA=\frac{12\sqrt{61}}{122+10\sqrt{61}}AB=\frac{7320}{122+10\sqrt{61}}\)cm 

Theo định lí Pytago tam giác AIB vuông tại A

\(BI^2=AB^2+AI^2\Rightarrow BI=\sqrt{AB^2+AI^2}\)

\(=\sqrt{6100+\left(\frac{7320}{122+10\sqrt{61}}\right)^2}\)cm 

Trước tiên chứng minh:

9(a+b)(b+c)(c+a)≥8(a+b+c)(ab+bc+ca)

(nhân vô rút gọn chuyển hết sang trái được)

⇔a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b−6abc≥0

⇔(a2b−2abc+c2b)+(a2c−2abc+b2c)+(b2a−2abc+c2a)≥0

⇔(a√b−c√b)2+(a√c−b√c)2+(b√a−c√a)2≥0(đúng)

Từ đây ta có:

9(a+b)(b+c)(c+a)≥8(a+b+c)(ab+bc+ca)

⇔ab+bc+ca≤9(a+b)(b+c)(c+a)8(a+b+c)=94

(a+b)+(b+c)+(c+a))⇔ab+bc+ca≤9≤94.33√(a+b)(b+c)(c+a)=94.3=34

Vậy ab+bc+ca≤34

1+\(\sqrt{2}\)