\(\left(4\sqrt{2}-3\sqrt{3}+1\right):\sqrt{6}\)

\(=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{6}}-\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}}\)

\(=\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{6}\)

\(=\frac{8\sqrt{3}-9\sqrt{2}+\sqrt{6}}{6}\)

Gọi x,y là kích thước của hình chữ nhật (x,y>0)

ta có: x²+y²=d²(đl pytago)

Từ (x-y)²>= 0 suy ra x²-2xy+y²>=0 suy ra x²+y²>= 2xy

Ta có xy<= d²/2, không đổi.

dấu ''='' xảy ra <=> x=y

suy ra ABCD là hình vuông

Vậy trong tất cả các hình chữ nhật có chiều dài đường chéo d không đổi thì hình vuông có diện tích lớn nhất và bằng \(\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\)

a, sinC = \(\frac{AB}{BC}\); tanC = \(\frac{AB}{AC}\)

cosC = \(\frac{AC}{BC}\); cotC = \(\frac{AC}{AB}\)

b, Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

tanB = \(\frac{AC}{AB}=\sqrt{2}\Rightarrow AC=\sqrt{2}AB\)

* Áp dụng hệ thức : \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Rightarrow\frac{1}{12}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{2AB^2}\Rightarrow AB\approx4,24\)cm 

\(\Rightarrow AC\approx4,24\sqrt{2}\)cm

Theo định lí Pytago tam giác ABC vuông tại A

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}\approx\sqrt{4,24^2+\left(4,24\sqrt{2}\right)^2}\approx7,34\)cm 

\(Q=\frac{3x+\sqrt{9x}-3}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}}\)ĐK : \(x\ge0;x\ne1\)

\(=\frac{3x+3\sqrt{x}-3-\left(1-x\right)+x-4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(1-\sqrt{x}\right)}=\frac{5x+3\sqrt{x}-8}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(1-\sqrt{x}\right)}=\frac{-8-5\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\)