hình mình vẽ trong thống kê hỏi đáp trong trang cá nhân 

a) +)tứ giác AFHE là hcn

Vì N đối xứng với H qua AC (gt)

Mà ta lại có giao điểm của NH và AC là F (gt)

=> N đối xứng với H qua điểm F

=> AF là đường trung trực của tam giác ABC

=> AF là đường cao của tam giác ABC

=> AF_|_HN => ^AFH = 90^o

Vì M đối xứng với H qua AB (gt)

Mà giao điểm của AB với MH là E

=> M đối xứng với H qua E

=> AE là đường trung trực của tam giác ABC

=> AE là đg cao của tam giác ABC

=> AE_|_MH=>^AEH=90^o

Xét tứ giác AFHE có:

^AEH=90^o
^AFH = 90^o

^EAF=90^o (tam giác ABC vuông tại A)

=> tứ giác AFHE là hcn (tứ giác có 3 góc _|_) (đpcm)

+) tứ giác AEFN là hbh

Vì tứ giác AEHF là hcn 

=> EH//AF ; EH=AF

Lại có: ME=EH ( AE đg trung trực)

=> ME//AF ; ME=AF

=> tứ giác AMEF là hbh ( hai cạnh đối // và = nhau) (đpcm)

b) Vì MA//EF (cmt)

Mà A thuộc MN

=> AN//EF

Do đó: M,A,N thẳng hàng (tiền đề ơ-clit) (1)

Mặt khác: AF là đg trung trực của tam giác AHN (cm câu a)

=> AH=AN

EA là đường trung trực của tam giác MAH

=> MA=AH

Do đó:  MA=AN ( vì cùng = AH)

=> A là trung điểm của MN (2)

Từ (1) và (2) M đối xứng với N qua A (đpcm)

c) Xét tứ giác MAHB có:

MA=MH ( cmt câu b) (3)

Lại có: M đối xứng với H qua E => ME đường trung trực của tam giác MAB

=> MB=MA (4)

 HE là đường trung trực của tam giác  HBA => HB=HA (5)

Từ (3) và (4) và (5) => tứ giác MBHA là hình thoi 

=> EB=EA =1/2 AB = 2 ( cm )

Vậy EA = 2 cm 

Lại có: FA=FC=1/2AC=3/2 = 1,5 (cm) ( AF là đường trung trực của tam giác HAC)

Vậy: FA=1,5 cm 

Áp dụng định lí Pi-ta-go và tam giác AEF có: 

AE² + AF² = EF²

=> EF² = 2² + 1,5²

=> EF²= 4 + 2,25

=> EF² = 6,25

=> EF= 2,5

Vậy EF = 2,5 cm 

d) Để AEHF là hình vuông => hcn AEHF có: AE=AF

=> AH là đường trung trực của tam giác EAF

=> AB=AC

=> tam giác ABC cân tại A

Vậy cần đk tam giác ABC cân tại A thì AEHF là hình vuông

a) \(A=\frac{3+\sqrt{9x-3}}{x+\sqrt{x-2}}+\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+2}}+\frac{\sqrt{x-2}}{1-\sqrt{x}}.\)

\(A=\frac{3x+3\sqrt{x-3}}{\left(\sqrt{x-1}\sqrt{x-2}\right)}-\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+2}}-\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-1}}\)

\(A=\frac{3x+3\sqrt{x-3}-\left(\sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{x-1}\right)-\left(\sqrt{x+2}\right)\left(\sqrt{x-2}\right)}{\left(\sqrt{x-1}\right)\left(\sqrt{x+2}\right)}\)

\(A=\frac{3x+3\sqrt{x-3}-\left(x-1\right)-\left(x-4\right)}{\left(\sqrt{x-1}\right)\left(\sqrt{x+2}\right)}\)

\(A=\frac{3x+3\sqrt{x-3}-x+1-x+4}{\left(\sqrt{x-1}\right)\left(\sqrt{x+2}\right)}=\frac{x+3\sqrt{x+2}}{\left(\sqrt{x-1}\right)\left(\sqrt{x+2}\right)}=\frac{\left(\sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{x+2}\right)}{\left(\sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{x-2}\right)}=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}}\)

Thêm phần 

\(ĐK:\hept{\begin{cases}x>0\\\frac{x}{0}\end{cases}}\)tức là x khác 0

Answer:

\(M=\left(\frac{x}{x-3}+\frac{3x^2+3}{9-x^2}+\frac{2x}{x+3}\right):\frac{x+1}{3-x}\)

ĐKXĐ: 

\(x-3\ne0\)

\(9-x^2\ne0\)

\(x+3\ne0\)

\(x+1\ne0\)

(Ý này trình bày trong vở bạn xếp vào vào cái ngoặc "và" nhé!)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ne\pm3\\x\ne-1\end{cases}}\)

\(=\frac{-x\left(3+x\right)+3x^2+3+2x\left(3-x\right)}{\left(3-x\right)\left(3+x\right)}.\frac{\left(3-x\right)}{x+1}\)

\(=\frac{9x+3}{\left(3+x\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\frac{3}{x+1}\)

Có: \(x^2+x-6=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+6x-x-6=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+6\right)-\left(x+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+6\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+6=0\\x-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-6\\x=1\end{cases}}\) (Thoả mãn)

Trường hợp 1: \(x=1\Leftrightarrow M=\frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}\)

Trường hợp 2: \(x=-6\Leftrightarrow M=\frac{3}{-6+1}=\frac{-3}{5}\)

Để cho biểu thức M nguyên thì \(\frac{3}{x+1}\inℤ\)

\(\Rightarrow x+1\inƯ\left(3\right)\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+1=1\\x+1=3\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=2\end{cases}}}\) (Thoả mãn)

Để \(f\left(x\right)=x^4+2x^3-12x^2+7x+2a-10\)chia hết cho \(g\left(x\right)=x^2-3x+2\)thì tồn tại đa thức \(q\left(x\right)\)sao cho \(f\left(x\right)=g\left(x\right)q\left(x\right)\)

Mà ta có \(g\left(x\right)=x^2-3x+2=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\)

Suy ra \(g\left(x\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=2\end{cases}}\)

nên từ đó suy ra \(\hept{\begin{cases}f\left(1\right)=0\\f\left(2\right)=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2a-12=0\\2a-12=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=6\).

Vậy \(a=6\).

Answer:

Đặt \(t=x^2-3x-2\)

\(\left(t-2\right)^2-14t+28=0\)

\(\Rightarrow t^2-4t+4-14t+28=0\)

\(\Rightarrow t^2-18t+32=0\)

\(\Rightarrow t^2-16t-2t+32=0\)

\(\Rightarrow t\left(t-16\right)-2\left(t-16\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(t-16\right)\left(t-2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2-3x-2-16\right)\left(x^2-3x-2-2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2-3x-18\right)\left(x^2-4x+x-4\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x-6\right)\left(x+3\right)\left(x-4\right)\left(x+1\right)=0\)

Trường hợp 1: \(x=6\)

Trường hợp 2: \(x=-3\)

Trường hợp 3: \(x=4\)

Trường hợp 4: \(x=-1\)

Bài làm

a) \(Q=\left(\frac{x+1}{x^3+1}-\frac{1}{x-x^2-1}-\frac{2}{x+1}\right):\frac{4-2x}{x^3-x^2+x}\)

\(Q=\left(\frac{x+1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}+\frac{1\left(x+1\right)}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}-\frac{2\left(x^2-x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\right):\frac{4-2x}{x^3-x^2+x}\)

(bước trên là mình đổi dấu ở phân số thứ hai, dấu âm chuyển xuống dưới mẫu nên đổi dấu ở mẫu, sau đó nhân với cả cụm x + 1 nha, tại hơi tắt nên thêm dòng giải thích cho dễ hiểu)

\(Q=\left(\frac{x+1}{x^3+1}+\frac{x+1}{x^3+1}-\frac{2x^2-2x+2}{x^3+1}\right):\frac{4-2x}{x^3-x^2+x}\)

\(Q=\frac{-2x^2+4x}{x^3+1}\cdot\frac{x\left(x^2-x+1\right)}{4-2x}\)

\(Q=\frac{x\left(4-2x\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\cdot\frac{x\left(x^2-x+1\right)}{4-2x}\)

\(Q=\frac{x^2}{x+1}\)

b) Ta có: \(\left|x-\frac{3}{4}\right|=\frac{5}{4}\)

=> \(x-\frac{3}{4}=\pm\frac{5}{4}\)

=> \(\orbr{\begin{cases}x-\frac{3}{4}=\frac{5}{4}\\x-\frac{3}{4}=-\frac{5}{4}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-\frac{1}{2}\end{cases}}}\)

*Trường hợp 1: Khi x = 2

Thay x = 2 vào \(Q=\frac{x^2}{x+1}\)ta được:

\(Q=\frac{2^2}{2+1}=\frac{4}{3}\)

Vậy khi x = 2 thì Q = 4/3

*Trường hợp 2: Khi x = -1/2

Thay x = -1/2 vào \(Q=\frac{x^2}{x+1}\)ta được:

\(Q=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)^2}{-\frac{1}{2}+1}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}:\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\cdot2=\frac{1}{2}\)

Vậy x = -1/2 thì Q = 1/2

Answer:

a) \(Q=\left(\frac{x+1}{x^3+1}-\frac{1}{x-x^2-1}-\frac{2}{x+1}\right):\frac{4-2x}{x^3-x^2+x}\)

\(=\left(\frac{x+1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}+\frac{1}{x^2-x+1}-\frac{2}{x+1}\right).\frac{x\left(x^2-x+1\right)}{4-2x}\)

\(=\frac{x+1+x+1-2\left(x^2-x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}.\frac{x\left(x^2-x+1\right)}{2\left(2-x\right)}\)

\(=\frac{\left(-2x^2+4x\right)-x}{\left(x+1\right)-2\left(2-x\right)}\)

\(=\frac{+2x^2\left(-x+2\right)}{\left(x+1\right)-2\left(2-x\right)}\)

\(=\frac{x^2}{x+1}\)

b) \(\left|x-\frac{3}{4}\right|=\frac{5}{4}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-\frac{3}{4}=\frac{5}{4}\\x-\frac{3}{4}=\frac{-5}{4}\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=\frac{-1}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}Q=\frac{4}{3}\\Q=\frac{1}{2}\end{cases}}\)