\(ĐK:\)  \(x\ge2\)

  Ta có:
\(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}=7-2x\) 

\(\Leftrightarrow\) \(\left(\sqrt{x+1}-2\right)-\left(\sqrt{x-2}-1\right)=6-2x\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}-\frac{x-3}{\sqrt{x-2}+1}=-2\left(x-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}-\frac{x-3}{\sqrt{x-2}+1}+2\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\left(x-3\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}-\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}+2\right)=0\)

Chứng minh được:   \(\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}-\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}+2\ne0\)  với mọi  \(x\ge2\)  

Suy ra  \(x-3=0\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=3\)  (t/m đk)

Kết luận: ....

Ta có:

\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2-\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{9-5}{2}=2\)

Suy ra  \(a+2=a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\)

Tương tự, ta áp dụng với hai biến thực dương còn lại, thu được:

\(\hept{\begin{cases}b+2=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\\c+2=\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\end{cases}}\)

Khi đó, ta nhân vế theo vế đối với ba đẳng thức trên, nhận thấy:   \(\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)=\left[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\right]^2\)

\(\Rightarrow\)  \(\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\)  (do  \(a,b,c>0\)  )

nên   \(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+\sqrt{b}\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)+\sqrt{c}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)}\)

\(=\frac{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ca}+\sqrt{ca}\right)}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)

\(\Rightarrow\) \(đpcm\)

Điều kiện:   \(x,y\in Z\)

Từ biểu thức đã cho suy ra

\(4x^2+8y^2+8xy=4y+8\)

\(\Leftrightarrow\)\(4\left(x^2+2xy+y^2\right)+4y^2-4y+1=9\)

\(\Leftrightarrow\)  \(4\left(x+y\right)^2+\left(2y-1\right)^2=9=0^2+3^2=0^2+\left(-3\right)^2\)

Ta phải có  \(\left(2y-1\right)^2=9\)   vì nếu  \(4\left(x+y\right)^2=9\)  \(\Rightarrow\)  \(\left(x+y\right)^2=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}\notin Z\)  (vô lí!)

\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(2y-1\right)^2=3^2\\4\left(x+y\right)^2=0\end{cases}}\)  hoặc  \(\hept{\begin{cases}\left(2y-1\right)^2=\left(-3\right)^2\\4\left(x+y\right)^2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}2y-1=3\\x+y=0\end{cases}}\) hoặc   \(\hept{\begin{cases}2y-1=-3\\x+y=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}x=-2\\y=2\end{cases}}\)  hoặc   \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}}\)  (t/ đk)

Kết luận: ...............