Ta có: \(x^2-xy+y^2-x-y=0\) 

\(\Leftrightarrow x^2-x\left(y+1\right)+y^2-y=0\) 

\(\Leftrightarrow4x^2-4x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2-\left(y^2+2y+1\right)+4y^2-4y=0\) 

\(\Leftrightarrow4x^2-4x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+3y^2-6y-1=0\) 

\(\Leftrightarrow\left(2x-y-1\right)^2+3\left(y+1\right)^2=4\)  

Do \(x,y\in Z\Rightarrow\left(2x-y-1\right)^2;\left(y+1\right)^2\ge0\) 

\(\Rightarrow3\left(y+1\right)^2\le4\)

\(\Rightarrow\left(y+1\right)^2\le\frac{3}{4}\)  

Sau đó bạn xét từng giá trị nhé

Đặt độ dài mối cạnh của hình vuông là a (a\(\in\)R⁺)

Ta thấy:\(\Delta\)AA'O vuông tại A' => ^A'AO + A'OA = 90⁰

Mà ^A'OA + ^B'OB = 90⁰ nên ^A'AO = ^B'OB

Xét \(\Delta\)AA'O và \(\Delta\)OB'B: ^AA'O = ^OB'B = 90⁰; AO=BO; ^A'AO = ^B'OB

=> \(\Delta\)AA'O = \(\Delta\)OB'B (Cạnh huyền góc nhọn) => AA'=OB'

Xét \(\Delta\)BB'O: ^BB'O=90⁰ => OB' ² + BB' ² = OB²

Do AA' = OB' => AA' ² + BB' ² = OB² (1)

Tương tự, ta có: CC' ² + DD' ² = OC² (2)

Cộng (1) với (2) => AA' ² + BB' ² + CC' ² + DD' ² = OB² +OC² = a² (Vì \(\Delta\)BOC vuông cân đỉnh O)

Mà a không đổi nên ta có điều phải chứng minh.

Chuyển vế->tìm x

\(a+b+c=13\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=13^2=169\)

\(\Rightarrow85+2ab+2ac+2bc=169\Rightarrow2ab+2ac+2bc=169-85=84\)

\(\Rightarrow ab+ac+bc=42\)

a.b.c

18.6,8

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(3\left(x+y+z\right)\le\frac{\left(x+y+z\right)^2+9}{2}\)

Ta tiếp tục qui tụ bài toán về BĐT khác:

\(\Rightarrow2xyz+2\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\ge\left(x+y+z\right)^2+9\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)

Sử dụng tiếp \(xyz\ge xz+yz-z\)ta cần phải chứng minh \(x^2+y^2+z^2+2\left(xz+yz-z\right)+1\ge2xy+2yz+2zx\)

Hay \(\left(x-y\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\)

Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có ĐPCM

Hoặc ta có thể áp dụng BĐT AM-GM bộ 3 số ta có: 

\(2xyz+1\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=\frac{3xyz}{\sqrt[3]{3xyz}}\ge\frac{9xyz}{x+y+z}\)

Tiếp tục ta chứng minh: \(x^2+y^2+z^2+\frac{9}{x+y+z}\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)

Đẳng thức Schur chỉ xảy ra khi \(x=y=z=1\)