2) \(VT=\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\right)+3\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)

Xét \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng phân thức 

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\) (1) 

Xét \(3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng phân thức 

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge3.\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\) (2) 

Từ (1) và (2) 

\(\Rightarrow VT\ge\frac{9}{2}+\frac{3}{2}=6\) ( đpcm ) 

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)

cám ơn nhiều.

\(\hept{\begin{cases}x^4+y^2-4x^2-6y+9=0\\x^2y+x^2+2y-22=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x^2-2\right)^2+\left(y-3\right)^2=4\\\left(y-3\right)\left(x^2-2\right)+4\left(x^2-2\right)+4\left(y-3\right)=8\end{cases}}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}x^2-2=a\\y-3=b\end{cases}}\) thì ta có

\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2=4\\ab+4\left(a+b\right)=8\end{cases}}\)

Tới đây thì quá đơn giản rồi nhé.

Đặt \(x^3+1=a\)

\(\Rightarrow\left(4a-x\right)^3-a-1=0\)

\(\Leftrightarrow x^3-12ax^2+48a^2x-64a^3+a+1=0\)

\(\Leftrightarrow-12ax^2+48a^2x-64a^3+2a=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(-12x^2+48ax-64a^2+2\right)=0\)

Làm tiếp nhé.

Từ \(a+b+c=3\) ta có:

Đặt \(\hept{\begin{cases}a=1+m\\b=1+n\\c=1-m+n\end{cases}\left(-1< m+n< 1\right)}\)

\(\rightarrow4\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)=\)

\(=4\left[\left(1+m\right)^2+\left(1+n^2\right)+\left(1-m-n\right)^2\right]-\left[\left(1+m\right)^3+\left(1+n\right)^3+\left(1-m-n\right)^3\right]\)

\(=4\left(1+2m+m^2+1+2n+n^2+1+m^2+n^2-2m-2n+2mn\right)\)

\(-\left(6m^2+6n^2+6mn-3m^2n-3mn^2+3\right)\)

\(=4\left(2m^2+2n^2+3+2mn\right)-6m^2-6n^2+3m^2n+3mn^2-3\)

\(=2m^2+2n^2+2mn+3m^2n+3mn^2+9\)

\(=\left(m+n\right)^3+\left(m+n\right)^2=\left(m+n\right)^2\left(m+n+1\right)+9\ge9\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(m=n=0\) hay \(a=b=c=1\).

Ta có a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca).

Rút a³ + b³ + c³ ra rồi thế vào VT bđt ta được

VT = 9 + ab + bc + ca - 3abc

Mặt khác ab + bc + ca >= 3 căn 3 của a²b²c² >= 3abc (vì abc <=1).

Do đó VT >=9. Đpcm.

bạn cứ cố tách cái trong căn thành bình phương là đc mà

tot bug giai gium dj