cho a,b,c>=0 và b=\(\frac{a+c}{2}\)
cmr: \(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(Q=\sqrt[3]{ax^{2\:}+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}}\)
\(=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{ax^3}{y}+\frac{ax^3}{z}}=\sqrt[3]{ax^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}=\sqrt[3]{ax^{3\:}}=x\sqrt[3]{a}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{a}=\frac{Q}{x}\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{b}=\frac{Q}{y}\\\sqrt[3]{c}=\frac{Q}{z}\end{cases}}\)
\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\frac{Q}{x}+\frac{Q}{y}+\frac{Q}{z}=Q\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=Q\)
Vậy....
Đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\(ax^2+by^2+cz^2=\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)^3\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(ax^2+by^2+cz^2\right)\)
\(\ge\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}\cdot ax^2}+\sqrt[3]{\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{y}\cdot by^2}+\sqrt[3]{\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{z}\cdot cz^2}\right)^3\)
\(=\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)^3=VP\)
Do \(ax^2=by^2=cz^2\) nên đẳng thức có xảy ra
\(5x^2+8y^2=20412\)
Vì \(8y^2⋮2\)và \(20412⋮2\)\(\rightarrow5x^2⋮2\rightarrow x^2⋮2\rightarrow x⋮2.\)
Đặt \(x=2k\left(k\in Z\right)\), ta có:
\(5\times4k^2+8y^2=20412\)
\(\leftrightarrow5k^2+2y^2=5103\)
Vì \(5103\)lẻ và \(2y^2\)chẵn nên \(5k^2\)lẻ \(\rightarrow k\)lẻ.
+) Nếu \(y\) chẵn thì \(2y^2⋮4\)nên \(5103\)và \(5k^2\)có cùng số dư khi chia cho\(4\).
Ta thấy \(5103\div4\)dư \(3\)thì \(5k^2\div4\)dư \(3\)\(\rightarrow k^2\div4\) dư \(3\).
Vô lý, một số chính phương chia cho \(4\) chỉ có thể dư \(0\)hoặc\(1\).
+) Nếu\(y\)lẻ thì \(y^2\)chỉ có tận cùng là \(1,5,9\)nên \(2y^2\)có tận cùng là \(2,0,8\)
mà \(5k^2\)có tận cùng là 5 \(\rightarrow\)\(y^2\)có tận cùng là \(9\)
\(\rightarrow y\)có tận cùng là\(3,7\)
Thử bằng máy tính cầm tay với các giá trị của \(y=3,13,23,33,43,7,17,27,37,47\)ta tìm được \(y=27\)thỏa mãn
\(\rightarrow k=27\rightarrow x=54\)
Vậy phương trình có nghiệm nghuyên là \(\left(x;y\right)=\left(54;27\right)\)
bố ở trong tù vì mắc tội xâm hại tình dục trẻ em :mẹ 15 tuổi mà đã có 2 đứa con tk mk đang âm
1+1=2
2+2 =4
........................còn phần dưới mik ko bít
Nhìn đề thấy mệt nên sửa lại đỡ mệt.
Cho \(\hept{\begin{cases}a,b,c\ge0\\b^2=\frac{a^2+c^2}{2}\end{cases}}\)
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{2}{c+a}\)
Giải:
Theo đề ta có:
\(b^2=\frac{a^2+c^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow b^2-a^2=c^2-b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(b+a\right)\left(b-a\right)=\left(c+b\right)\left(c-b\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{b-a}{b+c}=\frac{c-b}{a+b}\)
Ta cần chứng minh:
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{2}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{c+a}\right)+\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{c-b}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}+\frac{a-b}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{b-a}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{a-b}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{b-a+a-b}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow0=0\)
Vậy....