Xét tam giác vuông ABC vuông tại A có 

SinB = CosC => Sin²B = Cos²C

Ta có SinB = \(\frac{AC}{BC}\Rightarrow\sin^2B=\frac{AC^2}{BC^2}\)

Tương tự Sin²C = \(\frac{AB^2}{BC^2}\)

=> Sin²B + Sin²C = \(\frac{AB^2+AC^2}{BC^2}=\frac{BC^2}{BC^2}=1\)

=> Ta có công thức \(\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1;\sin^2\alpha=\cos^2\beta\)

Khi đó A = \(\frac{\sin^257^{\text{o}}}{\cos^257^{\text{o}}}+2\sin^248^{\text{o}}-\left(2024-2\cos^248^{\text{o}}\right)\)

=  \(\frac{\sin^257^{\text{o}}}{\cos^257^{\text{o}}}+2\left(\sin^248^{\text{o}}+\cos^248^{\text{o}}\right)-2024=1+2-2024=-2021\)

Đkxđ \(a\ne2\)

\(\frac{1}{a-2}.a^2\sqrt{a^4.\left(a^2-4a+4\right)}=\frac{1}{a-2}.a^2\sqrt{a^4\left(a-2\right)^2}\)

\(=\frac{1}{a-2}.a^2.a^2.\left(a-2\right)\)

\(=a^4\)

\(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\ge\frac{1}{x}+\frac{2}{x+y}=2\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{x+y}\right)\)

\(\ge2.\frac{4}{2x+x+y}\ge\frac{8}{4}=2\)

Dấu \(=\)khi \(x=y=1\).

\(2\sqrt{x-1}+3\sqrt{x-2}=\sqrt{x^2-3x+2}+6\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x-1}+3\sqrt{x-2}=\sqrt{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}+6\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}=a\\\sqrt{x-2}=b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow2a+3b=ab+6\)

\(\Leftrightarrow\left(a-3\right)\left(2-b\right)=0\)

Làm tiếp

\(a+b+c=c^3-19c=c^3-c-18c=c\left(c-1\right)\left(c+1\right)-18c\)

Có \(c\left(c-1\right)\left(c+1\right)\)là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho \(6\), \(18c\)chia hết cho \(6\)

suy ra \(a+b+c\)chia hết cho \(6\).

\(a^3+b^3+c^3-a-b-c=a^3-a+b^3-b+c^3-c\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)+c\left(c-1\right)\left(c+1\right)\)

có \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)+c\left(c-1\right)\left(c+1\right)\)chia hết cho \(6\)do là tổng của \(3\)số hạng chia hết cho \(6\), \(a+b+c\)chia hết cho \(6\)

suy ra \(a^3+b^3+c^3\)chia hết cho \(6\).

a, tự vẽ 

b, Hoành độ giao điểm thỏa mãn pt 

\(-2x+4=-x+3\Leftrightarrow3x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{1}{3}\)

Thay vào (d') <=> \(y=\frac{1}{3}+3=\frac{10}{3}\)

Vậy d cắt d' tại A(-1/3;10/3)