cho các số a,b,c,d thỏa mãn: \(a^2+b^2=c^2+d^2\)
\(A=a^2+b^2+c^2+d^2\)
a) chứng minh rằng \(A\) là hợp số
b)chứng minh rằng :\(ab+cd\)và \(ac+bd\) không thể đồng thời là số nguyên tố
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sử dụng giả thiết \(a^2+b^2+c^2=3\), ta được: \(\frac{a^2b^2+7}{\left(a+b\right)^2}=\frac{a^2b^2+1+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b\right)^2}\)\(\ge\frac{2ab+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b\right)^2}=1+\frac{a^2+b^2+2c^2}{\left(a+b\right)^2}\)
Tương tự, ta được: \(\frac{b^2c^2+7}{\left(b+c\right)^2}\ge1+\frac{b^2+c^2+2a^2}{\left(b+c\right)^2}\); \(\frac{c^2a^2+7}{\left(c+a\right)^2}\ge1+\frac{c^2+a^2+2b^2}{\left(c+a\right)^2}\)
Ta quy bài toán về chứng minh bất đẳng thức: \(\frac{a^2+b^2+2c^2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{b^2+c^2+2a^2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{c^2+a^2+2b^2}{\left(c+a\right)^2}\ge3\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được \(\Sigma_{cyc}\frac{a^2+b^2+2c^2}{\left(a+b\right)^2}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(2a^2+b^2+c^2\right)\left(2b^2+c^2+a^2\right)\left(2c^2+a^2+b^2\right)}{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}}\)
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được \(\frac{\left(2a^2+b^2+c^2\right)\left(2b^2+c^2+a^2\right)\left(2c^2+a^2+b^2\right)}{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}\ge1\)
Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)ta được: \(8\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\)
Mặt khác ta lại có
\(4\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)\le\left(2b^2+c^2+a^2\right)^2\)(1) ; \(4\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)\le\left(2c^2+a^2+b^2\right)^2\)(2);\(4\left(c^2+a^2\right)\left(a^2+b^2\right)\le\left(2a^2+b^2+c^2\right)^2\)(3) (Theo BĐT \(4xy\le\left(x+y\right)^2\))
Nhân theo vế 3 bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được: \(64\left(a^2+b^2\right)^2\left(b^2+c^2\right)^2\left(c^2+a^2\right)^2\)\(\le\left(2a^2+b^2+c^2\right)^2\left(2b^2+c^2+a^2\right)^2\left(2c^2+a^2+b^2\right)^2\)
hay \(8\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)\)\(\le\left(2a^2+b^2+c^2\right)\left(2b^2+c^2+a^2\right)\left(2c^2+a^2+b^2\right)\)
Từ đó dẫn đến \(\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\)\(\le\left(2a^2+b^2+c^2\right)\left(2b^2+c^2+a^2\right)\left(2c^2+a^2+b^2\right)\)
Suy ra \(\frac{\left(2a^2+b^2+c^2\right)\left(2b^2+c^2+a^2\right)\left(2c^2+a^2+b^2\right)}{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}\ge1\)
Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
\(\frac{2}{x+\frac{1}{1+\frac{x+1}{x+2}}}=\frac{6}{3x-1}\)
\(\frac{2}{x+\frac{1}{\frac{x+2+x+1}{x+2}}}=\frac{6}{3x-1}\)
\(\frac{2}{x+\frac{1}{\frac{2x+3}{x+2}}}=\frac{6}{3x-1}\)
\(\frac{2}{x+\frac{x+2}{2x+3}}=\frac{6}{3x-1}\)
\(\frac{2}{\frac{2x+3+x+2}{2x+3}}=\frac{6}{3x-1}\)
\(\frac{2}{\frac{3x+5}{2x+3}}=\frac{6}{3x-1}\)
\(\frac{4x+6}{3x+5}=\frac{6}{3x-1}\)
\(\Rightarrow\left(4x+6\right)\left(3x-1\right)=6\left(3x+5\right)\)
\(\Rightarrow12x^2-4x+18x-6=18x+30\)
\(\Rightarrow12x^2-4x+18x-18x=30+6\)
\(\Rightarrow12x^2-4x-36=0\)
\(\Rightarrow3x^2-x-9=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{1}{3}x-3=0\)
\(\Rightarrow x^2-2.\frac{1}{6}x+\frac{1}{36}-\frac{1}{36}-3=0\)
\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{6}\right)^2-\frac{109}{36}=0\)
\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{6}-\frac{\sqrt{109}}{6}\right)\left(x-\frac{1}{6}+\frac{\sqrt{109}}{6}\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{109}}{6}\\x=\frac{1-\sqrt{109}}{6}\end{cases}}\)
làm lại nhé, chỗ kia quy đồng sai
lần này làm theo cách khác
\(\frac{2}{x+\frac{1}{1+\frac{x+1}{x+2}}}=\frac{6}{3x-1}\)
\(\frac{2}{x+\frac{1}{\frac{x+2+x+1}{x+2}}}=\frac{2}{x-\frac{1}{3}}\)
\(\Rightarrow x+\frac{1}{\frac{2x+3}{x+2}}=x-\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{x+2}{2x+3}=\frac{-1}{3}\)
\(\Rightarrow\left(x+2\right).3=-1.\left(2x+3\right)\)
\(\Rightarrow3x+6=-2x-3\)
\(\Rightarrow3x+2x=-3-6\)
\(\Rightarrow5x=-9\)
\(\Rightarrow x=\frac{-9}{5}\)
vậy \(x=\frac{-9}{5}\)
Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài các cạnh là số tự nhiên và số đo diện tích bằng số đo chu vi
Gọi số đo 3 cạnh của tam giác đó là a,b,c ( c là cạnh huyền)
Theo bài ra ta có \(\hept{\begin{cases}c^2=a^2+b^2\\ab=2\left(a+b+c\right)\end{cases}}\)
Ta có
c2=a2+b2(1)
=> c2=(a+b)2-2ab= (a+b)2-4(a+b+c)
=> c2=a2+b2+2ab-4a-4b-4c
=> c2+4c= a2+b2+2ab-4a-4b
<=> c2+4c+4=a2+b2+2ab-4a-4b+4
<=> (c+2)2=(a+b-2)2
Do a,b,c là số tự nhiên nên
c+2=a+b-2 <=> c=a+b-4
Thay c=a+b-2 vào (1) ta được
(a+b-4)2=a2+b2
<=> a2+b2+16-8a-8b+2ab=a2+b2
<=> 2ab-8a-8b=-16
<=> ab-4a-4b=-8
<=> ab-4a-4b+16=8
<=> a(b-4)-4(b-4)=8
<=> (b-4)(a-4)=8
Đến đây lập bảng xét ước là ra
tổng 2 số là 16.26 . nếu gấp số thứ nhất lên 5 lần và gấp số thứ 2 lên 2 lần thì tổng mới là 43.2 .tìm 2 số
Để \(Q\) nhỏ nhất => \(m;n\) nhỏ nhất
=>\(m^2+n^2\) nhỏ nhất
Mà \(m^2;n^2\ge0\)
Suy ra để \(Q\) nhỏ nhất thì
Cho \(x;y;z\ge0\)và \(xy+yz+zx=1\)Tìm GTLN
\(Q=9\left(x^2+y^2+z^2\right)-4\left(x^3+y^3+z^3\right)\)
a) Xét hiệu a2+b2+c2+d2 -(a+b+c+d)
=a(a-10+b(b-1)+c(c-1)+d(d-1) \(⋮\)2
mà a2+b2+c2+d2 \(\ge\)0
=> a+b+c+d \(⋮\)2
hay a+b+c+d là hợp số
Tham khảo lời giải tại đây:
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-abcd-la-cac-so-tu-nhien-thoa-man-doi-1-khac-nhau-va-a2d2b2c2tchung-minh-abcd-va-acbd-khong-the-dong-thoi-la-so-nguyen-to.1540844491932