715 = 5.11.13

572 = 2².11.13

UWCLN (-715; -572) = 11.13 = 143

ƯC(-715; -572) = Ư(143) = {-143; -13; -11; -1; 1; 11; 13; 143}

\(\dfrac{1212}{2323}\) = \(\dfrac{1212:101}{2323:101}\) = \(\dfrac{12}{23}\) 

\(\dfrac{1212}{2323}=\dfrac{1212:101}{2323:101}=\dfrac{12}{23}\)

- \(\dfrac{5}{8}\) + \(\dfrac{14}{8}\)- \(\dfrac{3}{8}\) + \(\dfrac{2}{9}\) - \(\dfrac{1}{2006}\)

= -(\(\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{8}\)) + \(\dfrac{7}{4}\)  + \(\dfrac{2}{9}\) - \(\dfrac{1}{2006}\)

= - 1 + \(\dfrac{7}{4}\) + \(\dfrac{2}{9}\) - \(\dfrac{1}{2006}\)

= \(\dfrac{3}{4}\) + \(\dfrac{2}{9}\) - \(\dfrac{1}{2006}\)
= \(\dfrac{35}{36}\) - \(\dfrac{1}{2006}\)

= \(\dfrac{35087}{36108}\)

A = \(\dfrac{3n+12}{n+3}\) (n \(\in\)Z; n ≠ -3)

A = \(\dfrac{3n+9+3}{n+3}\)

A = \(\dfrac{3.\left(n+3\right)+3}{n+3}\)

A = 3 + \(\dfrac{3}{n+3}\)

A_min ⇔ \(\dfrac{3}{n+3}\) min 

Vì n \(\in\) Z; 3 > 0  nên  \(\dfrac{3}{n+3}\) min ⇔ n + 3  = -1 ⇒ n = -4

Vậy A_min = 3 + \(\dfrac{3}{-1}\) = 0 ⇔ n = -4

Kết luận Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 0 xảy ra khi n = -4

Gọi ƯCLN(n.(n+1); 2n+1) = d

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}n.\left(n+1\right)⋮d\\2n+1⋮d\end{matrix}\right.\)

       \(\left\{{}\begin{matrix}n^2+n⋮d\\n.\left(2n+1\right)⋮d\end{matrix}\right.\)

       n.(2n + 1) - n² - n ⋮ d

        2n² + n - n² - n  ⋮ d

        (2n² - n²) + (n - n)⋮ d

        n² ⋮ d mà n² + n ⋮ d ⇒ n ⋮ d 

     n ⋮ d mà 2n + 1 ⋮ d ⇒ 1 ⋮ d

⇒ d = 1

Vậy n.(n + 1) và 2n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau (đpcm)

2(x-3)-(x+5)=-17

2x-6-x-5=-17

2x-x-6=-12

x=-6

2.(\(x-3\)) - (\(x+5\)) = -17

2\(x\) - 6 - \(x\) - 5  = - 17

(2\(x\) - \(x\)) - (6 + 5) = -17

\(x\) - 11 = -17

\(x\)         = - 17 + 11

\(x\)         = -6

Vậy \(x=-6\)

A = 10ⁿ + 8

A = \(\overline{..0}\) + 8

A = \(\overline{..8}\)

A = 16ⁿ - 15n - 1

16 \(\equiv\) 1 (mod 15)

16ⁿ \(\equiv\) 1ⁿ (mod 15)

16ⁿ \(\equiv\) 1 (mod 15)

- 1  \(\equiv\) -1 (mod 15)

15n \(\equiv\) 0 (mod 15)

⇒ 16ⁿ - 1 - 15n \(\equiv\) 1 -  1 + 0 (mod 15)

⇒ 16ⁿ - 15n - 1 \(\equiv\) 0 (mod 15)

⇒ 16ⁿ  - 15n - 1 \(⋮\) 15 (đpcm)

\(\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{2}:x=\dfrac{1}{5}\)

\(\dfrac{9}{2}:x=\dfrac{1}{5}-\dfrac{3}{2}\)

\(\dfrac{9}{2}:x=-\dfrac{13}{10}\)

\(x=\dfrac{9}{2}:\dfrac{-13}{10}\)

\(x=\dfrac{45}{-13}\)

Gọi \(d=UCLN\left(2n+3,n+1\right)\), khi đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\n+1⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\2n+2⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\) hay \(d=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{2n+3}{n+1}\) là phân số tối giản

Ta có phân số: \(\dfrac{2n+3}{n+1}\)

Gọi d là ƯCLN(2n+3,n+1) 

⇒ (2n + 3) ⋮ d và (n + 1) ⋮ d 

⇒ (2n + 3) ⋮ d và [2(n+1)] ⋮ d

⇒ (2n + 3) ⋮ d và (2n + 2) ⋮ d

⇒ (2n + 3 - 2n - 2) ⋮ d

⇒ 1 ⋮ d 

⇒ d = 1

Hay ƯCLN(2n+3,n+1) = 1 

Vậy phân số đã cho là phân số tối giản