\(\left(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)\left(\frac{1-\sqrt{a}}{1-a}\right)^2=1\)

Biến đổi vế trái ta có:

\(=\left[\frac{1-\sqrt{a^3}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right]\left[\frac{1-\sqrt{a}}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}\right]^2\)

\(=\left[\frac{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}+a\right)}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right]\left[\frac{1}{1+\sqrt{a}}\right]^2\)

\(=\left(1+\sqrt{a}+a+\sqrt{a}\right)\left(\frac{1}{a+2\sqrt{a}+1}\right)\)

\(=\frac{\left(a+2\sqrt{a}+1\right)}{a+2\sqrt{a}+1}\)

\(=1=VP\)

Vậy đẳng thức được chứng minh

em khong biet lam vi em hoc lop 6 thoi

thế s bn cn trả lời lm chi cho mệt

\(BDT\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b}{\left(a+c\right)^2}+\frac{c}{\left(a+b\right)^2}\right)\ge\frac{9}{4}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b}{\left(a+c\right)^2}+\frac{c}{\left(a+b\right)^2}\right)\ge\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)^2\)

Theo BĐT Nesbitt thì : \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)^2\ge\frac{9}{4}\)

Không mất tính tổng quát, chuẩn hóa a + b + c = 3 \(\Rightarrow0< a,b,c< 3\)

Khi đó bất đẳng thức tương đương với: \(\frac{a}{\left(3-a\right)^2}+\frac{b}{\left(3-b\right)^2}+\frac{c}{\left(3-c\right)^2}\ge\frac{3}{4}\)

Xét BĐT phụ: \(\frac{x}{\left(3-x\right)^2}\ge\frac{2x-1}{4}\)với \(x\in\left(0;3\right)\)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2\left(-2x+9\right)}{4\left(3-x\right)^2}\ge0\)(đúng với mọi \(x\in\left(0;3\right)\))

Áp dụng, ta được: \(\frac{a}{\left(3-a\right)^2}+\frac{b}{\left(3-b\right)^2}+\frac{c}{\left(3-c\right)^2}\ge\frac{2a-1}{4}+\frac{2b-1}{4}+\frac{2c-1}{4}\)

\(=\frac{2\left(a+b+c\right)-3}{4}=\frac{3}{4}\left(q.e.d\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c 

Câu hỏi đâu

tk ha

ko đăng câu hỏi linh tinh

đặt \(\hept{\begin{cases}a+b=x\\b+c=y\\c+a=z\end{cases}}\)

cậu tính A theo x,y,x rồi chứng minh 

\(B=\frac{x}{z-y}.\frac{y}{x-z}+\frac{y}{x-z}.\frac{z}{y-x}+\frac{z}{y-x}.\frac{x}{z-y}=-1\)

thì ta có A+2B>=0   -->A>=-2B=2

\(\frac{\left(a+b\right)^2}{a-b}+\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(b-c\right)}+\frac{\left(c+a\right)^2}{\left(c-a\right)}\ge2\)

Subtract 2 from both sides:

\(\frac{\left(a+b\right)^2}{a-b}+\frac{\left(b+c\right)^2}{b-c}+\frac{\left(c+a\right)^2}{c-a}-2\ge2-2\)

Refine:

\(\frac{\left(a+b\right)^2}{a-b}+\frac{\left(b+c\right)^2}{b-c}+\frac{\left(c+a\right)^2}{c-a}\ge0\)

Simplyfy : \(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2}{b-c}+\frac{\left(c+a\right)^2}{c-a}:\)     \(\frac{4a^2bc-4a^2c^2-4a^2b^2+2a^2b-2a^2c+4ab^2c+4abc^2+2ac^2-2ab^2-4b^2c^2+2b^2c-2bc^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(b-c\right)}+\frac{\left(c+a\right)^2}{\left(c-a\right)}-2\)

Convert element to fraction: \(2=\frac{2}{1}\)

\(=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(b-c\right)}+\frac{\left(c+a^2\right)}{\left(c-a\right)}-\frac{2}{1}\)

Find LCD for: \(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(b-c\right)}+\frac{\left(c+a\right)^2}{c-a}-\frac{2}{1}\):

Find the least common denominator 1   (a  - b) (b - c) (c- a) = (a  - b) (b - c) (c- a)(a  - b) (b - c) (c- a)

Sau đó vào đây để xem bài giải tiếp theo nhá! Lười đánh máy tiếp lắm!   Có gì mai mốt sử dụng phần mềm đó giải khỏi phải lên đây hỏi.

Step-by-Step Calculator - Symbolab

Gọi tuổi mẹ là x, tuổi con là y

=> x-4=5(y-4) <=> x-4=5y-20 <=> x=5y-16

Và: x+2=3(y+2) <=> x+2=3y+6 <=> x=3y+4

=> 5y-16=3y+4

<=> 2y=20 => y=10

x=3.10+4=34

ĐS: Tuổi mẹ là 34 (tuổi). Tuổi con là 10 (tuổi)

Gọi tuổi mẹ là x, tuổi con là y

Ta có : x - 4 = 5y   (1)

           x + 2 = 3y   =>   2 . (x + 2) = 2 . 3y

                             =>   2x + 4 = 6y    (2)

Lấy (2) - (1) ta có : 2x + 4 - x + 4 = 6y - 5y

                          => x + 8 = y

Thay vào (1) ta có :  x - 4 = 5 . ( x + 8 )

                            => x - 4 = 5x + 40

                            => 5x - x = - 4 - 40

                            => 4x = - 44

                            => x = (-44) : 4 = -11

                            => y = -11 + 8 = - 3

              Vậy x = -11 , y = -3  

GTNN :\(A=\frac{\left(2x^2+2\right)+\left(x^2-2x+1\right)}{x^2+1}=2+\frac{\left(x-1\right)^2}{x^2+1}\ge2\forall x\) có GTNN là 2

GTLN : \(A=\frac{\left(4x^2+4\right)-\left(x^2+2x+1\right)}{x^2+1}=4-\frac{\left(x+1\right)^2}{x^2+1}\le4\forall x\) có GTLN là 4

+) \(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x;y\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge x^2+y^2+2xy\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)(1)

+) \(x^2-2xy+y^2\ge0\forall x;y\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+4xy\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\)(2)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\)(đpcm)