cho tam giác abc nhọn có D,E,F lần lượt trên BC,AC,AB sao cho AD,BF,CF đồng quy tại H. Gọi M là giao điểm của BE và DF,N là giao điểm của CF và DE. Biết MD/MF=ED/EF;ND/NE=FD/FE cmr H là trực tâm của tam giác abc
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi năng xuất làm việc trong 1 ngày của đội 1 và đội 2 lần lượt là:x và y(công việc/ngày).
2 đội công nhân cùng làm chung 1 công việc thì sau 15 ngày
\(\Rightarrow15\times y+15\times y=1\left(1\right)\)
Đội 1 làm riêng trong 3 ngày rồi dừng lại và đội 2 làm tiếp công việc đó trong 5 ngày thì cả 2 đội hoàn thành 25% công việc(ở đây mk đổi luôn)
\(\Rightarrow3\times x+5\times y=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow5\times\left(3\times x+5\times y\right)=5\times\frac{1}{4}\)
\(15\times x+25\times y=\frac{5}{4}\left(2\right)\)
Lấy (2) trừ đi (1) ta được:
\(\left(15\times x+25\times y\right)-\left(15\times x+15\times y\right)=\frac{5}{4}-1\)
\(10\times y=\frac{1}{4}\)
\(y=\frac{1}{4}:10\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{40}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{24}\)
Vậy .................
Chúc bạn học tốt
\(9\cdot x-5=4\cdot x\)
\(9\cdot x-4\cdot x=5\)
\(5\cdot x=5\Rightarrow x=1\)
\(\sqrt{6x^2+1}=\sqrt{2x-3}+x^2\) \(\left(x\ge\frac{3}{2}\right)\)
<=> \(\sqrt{6x^2+1}-5=\sqrt{2x-3}-1+x^2-4\)
<=> \(\frac{6x^2+1-25}{\sqrt{6x^2+1}+5}=\frac{2x-3-1}{\sqrt{2x-3}+1}+\left(x-2\right)\left(x+2\right)\)
<=> \(\frac{6\left(x^2-4\right)}{\sqrt{6x^2+1}+5}-\frac{2\left(x-2\right)}{\sqrt{2x-3}+1}-\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\)
<=> \(\left(x-2\right)\left\{\frac{6\left(x+2\right)}{\sqrt{6x^2+1}+5}-2-x-2\right\}=0\)
<=> \(x=2\left(tm\right)\)hoặc \(\frac{6\left(x+2\right)}{\sqrt{6x^2+1}+5}-x-4=0\left(1\right)\)
\(giải\left(1\right)có\)
\(6x+12=\left(x+4\right)\left(\sqrt{6x^2+1}+5\right)\)
<=> \(6x+12=x\sqrt{6x^2+1}+5x+4\sqrt{6x^2+1}+20\)
<=> \(x-8=x\sqrt{6x^2+1}+4\sqrt{6x^2+1}\left(x\ge8\right)\)
<=> \(x^2-16x+64=6x^4+x^2+96x^2+16+8x\sqrt{\left(6x^2+1\right)^2}\)
bn giải nốt nhá
Có \(\sqrt{\frac{x}{\sqrt[]{3x+yz}}}=\sqrt[]{\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}}\)
Làm tương tự với 2 cái còn lại
Ta sẽ dùng bđt cô si mở rộng: (a+b+c)^2<=3(a^2+b^2+c^2)
Đặt A là biểu thức để bài cho
Có A^2<=\(3\left(\frac{x}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\frac{y}{\sqrt[]{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}}+\frac{z}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\right)\)
Ta có \(\frac{1}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}< =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\)
nên \(\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}< =\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)
làm tương tự với 2 ngoặc còn lại ta sẽ thấy A^2<=\(\frac{9}{2}\)
hay A<=\(\frac{3}{\sqrt{2}}\)
dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
Chúc bạn học tốt!
Ta có : \(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+..+\frac{99}{100}\)
= \((1-\frac{1}{2})+(1-\frac{1}{3})+...+(1-\frac{99}{100})\)(100 cặp số )
= \(\left(1+1+1+...+1\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}\right)\)(100 số hạng 1)
= \(1\times100-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+..+\frac{1}{100}\right)\)
= \(100-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}\right)\)
=> 100-(1+1/2+1/3+...+1/100) = 1/2+2/3+3/4+...+99/100
Trên tia đối của tia MA lấy điểm K sao cho MK=MA
Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta KMC\) có:
\(AM=MK\)
\(\widehat{AMB}=\widehat{KMC}\left(đ.đ\right)\)
\(MB=MC\)
\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta KMC\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow AB=CK\)
Theo BĐT tam giác,ta có:
\(AC+CK>AK\)
\(\Rightarrow AC+AB>2AM\)
\(\Rightarrow AM< \frac{AB+AC}{2}\left(đpcm\right)\)
Bạn tự vẽ hình
Lấy E đối xứng với A qua M
Có M là tđ của AE và BC
nên ABCE là hình bình hành
nên AB=CE
Xét tam giác ACE có AC+CE>AE
suy ra AC+AB>2AM
hay (AC+AB)/2>AM(đpcm)
\(a,\)\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
Xét bài toán (II): Cho tam giác A'B'C' điểm D' thuộc cạnh BC sao cho \(\frac{A'B'}{A'C'}=\frac{D'B'}{D'C'}\).
Chứng minh: A'D' là phân giác góc A' của tam giác A'B'C'
Trên tia đối tia D'A' lấy điểm E' sao cho B'E'=B'A'
=> \(\Delta B'E'A'\)cân tại B'
=> \(\widehat{B'A'D'}=\widehat{B'E'D'}\)(1)
Xét tam giác: A'D'C' và tam giác E'D'B' có: \(\frac{E'B'}{A'C'}=\frac{D'B'}{D'C'}\)và \(\widehat{C'D'A'}=\widehat{B'D'E'}\)
=> Hai tam giác trên đồng dạng
=> \(\widehat{C'A'D'}=\widehat{B'E'D'}\)(2)
Từ (1), (2) => \(\widehat{C'A'D'}=\widehat{B'A'D'}\)=> A'D' là phân giác góc A của tam giác A'B'C'
Quay lại bài toán của bạn:
Xét tam giác EFD có: M thuộc FD và \(\frac{ED}{EF}=\frac{MD}{MF}\)
theo bài toán (II) đã chứng minh ở trên ta có: EM là phân giác góc \(\widehat{FED}\)
tương tự FN là phân giác góc \(\widehat{DFE}\)
mà EM cắt FN tại H
=> H là giao ba đường phân giác trong tam giác DEF
=> DA là phân giác trong góc FDE
Như vậy cần chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC
Bài này có thể phải dùng tới định lí Menenaus hoặc Ceva. Em đã được học về các định lý này chưa?