\(8\left(a^4+b^4\right)+\frac{1}{ab}=8\left(a^4+b^4+0,5^4+0,5^4\right)+\frac{1}{ab}-1\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(8\left(a^4+b^4\right)+\frac{1}{ab}\ge8.4.\sqrt[4]{a^4.b^4.0,5^4.0,5^4}+\frac{1}{ab}-1=8.ab+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge2.\sqrt{8ab.\frac{1}{2ab}}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}-1=4+2-1=5\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=0,5

\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2=a^2+2+\frac{1}{a^2}+b^2+2+\frac{1}{b^2}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz và AM-GM ta có: ( link c/m Cauchy-schwarz: Xem câu hỏi )

\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+2.\sqrt{\frac{1}{a^2}.4}+2.\sqrt{\frac{1}{b^2}.4}-4=\frac{1}{2}+2.\frac{2}{a}+2.\frac{2}{b}-4\ge\frac{1}{2}+\frac{\left(2+2\right)^2}{a+b}-4=12,5\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=0,5

Theo mình đề bài là chứng minh \(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\ge12,5\)

Tham khảo nhé~

\(A=\frac{3^{\left(x+y\right)^2}}{3^{\left(x-y\right)^2}}=3^{\left(x+y\right)^2}:3^{\left(x-y\right)^2}=3^{\left(x+y\right)^2-\left(x-y\right)^2}\)

\(=3^{\left(x+y-x+y\right)\left(x+y+x-y\right)}=3^{2y\cdot2x}=3^{4xy}\)

\(=3^{4\cdot1}=3^4=81\)

\(6x^4-2x^3-x^2+2=0\)

\(\Leftrightarrow6x^4-8x^3+4x^2+6x^3-8x^2+4x+3x^2-4x+2=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2\left(3x^2-4x+2\right)+2x\left(3x^2-4x+2\right)+\left(3x^2-4x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x^2-4x+2\right)\left(2x^2+2x+1\right)=0\)

Mà \(2x^2+2x+1=2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 +\frac{1}{2}>0\forall x\)

\(3x^2-4x+2=3\left(x-\frac{2}{3}\right)^2+\frac{2}{3}>0\left(\forall x\right)\)

Do đó tập nghiệm của pt là: \(S=\varnothing\)

Chúc bạn học tốt.

ĐKXĐ: \(x\ne\pm2\)

\(\frac{x+1}{x-2}=\frac{1}{x^2-4}\)

\(\Leftrightarrow\left(1+x\right)\left(x^2-4\right)=x-2\)

\(\Leftrightarrow\left(1+x\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)=x-2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2+3x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left[x^2+2.x.1,5+\left(1,5\right)^2-1,25\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left[\left(x+1,5\right)^2-\left(\sqrt{1,25}\right)^2\right]=0\)

Tự làm nốt

\(\frac{2012}{x^2+y^2-20\left(x+y\right)+2213}=\frac{2012}{\left(x^2-20x+100\right)+\left(y^2-20y+100\right)+2013}\)

\(=\frac{2012}{\left(x-10\right)^2+\left(y-10\right)^2+2013}\le\frac{2012}{2013}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=10\)

\(x^2-4x+y^2-6y+15=2\)

\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2-6y+9+2=2\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}}\)

x^2-4x+y^2-6y+15=0

x^2-4x+4+y^2-6y+9+2=2

(x-2)^2+(y-3)^2=0

do x-2)^2>=o, (y-3)^2>= 0( ghi chú : >= là lớn hơn hoặc bằng)

vậy x-2=0 và y-3=0

x=2 và y=3

vậy x=2 và y=3 là nghiệm phương trình

a) Kẻ MN

Có: IM là tia p/g của góc AIB

=> AM:BM = AI:BI  (1)

IN là tia p/g của góc AIC

=> AN:NC = AI:IC (2)

Từ (1) và (2) => BI =CI

=> AM:MB = AN:NC

=> MN // BC ( Talet đảo )

mik cũng ko làm đc

thanks

Trả lời

thank you

=^_^=

................