\(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}\)

Từ giả thiết :

\(\Rightarrow\frac{x}{y+z+t}+1=\frac{y}{z+t+x}+1=\frac{z}{t+x+y}+1=\frac{t}{x+y+z}+1\)

Hay: \(\frac{x+y+z+t}{y+z+t}=\frac{y+z+t+x}{z+t+x}=\frac{z+t+x+y}{t+x+y}=\frac{t+x+y+z}{x+y+z}\)

a, Nếu \(x+y+z+t=0\) thì \(M=-4\)

b, Nếu \(x+y+z+t\ne0\Rightarrow x=y=z=t\) nên \(M=4\)

Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

Vì a ; b là các số dương nên chia cả 2 vế cho a;b ta được \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b

..

Ta có :\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\) \(\left(1\right)\)

Mà \(\left(a+b\right)^2>0\Rightarrow a^2+2ab+b^2>0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2>2ab\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}>\frac{2ab}{ab}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}>2\)\(\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>2\left(đpcm\right)\)

chúc bạn hok tốt

\(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=1\)

\(\Rightarrow\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{x+z}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{x+y}=x+y+z\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{y+z}+x+\frac{y^2}{x+z}+y+\frac{z^2}{x+y}+z=x+y+z\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=0\)

\(\Rightarrow M=2019+0=2019\)

1,    \(3x+4< 0\Rightarrow3x< -4\)\(\Rightarrow x< -\frac{4}{3}\)

2,     \(2x-3>0\Rightarrow2x>3\)\(\Rightarrow x>\frac{3}{2}\)

3,     \(1,2x< -6\Rightarrow x< \frac{-6}{1,2}\Rightarrow x< \)\(-5\)

4,       \(3x+4>2x+3\)\(\Rightarrow3x-2x>3-4\)\(\Rightarrow x>-1\)

Đây là dạng cơ bản nhất của dạng giải bất phương trình nên nắm vững nhé

Chuyển vế, đổi dấu như thường, chỉ có nhân(chia) cho số âm thì đổi chiều thôi

 chúc bạn học tốt nhé

đặt   \(x^2+x+2\)  là a  ; đặt  \(x+1\)là b

\(\Rightarrow a+b=x^2+x+2+x+1\)\(=x^2+2x+3\)

\(\Rightarrow a^3+b^3=\left(a+b\right)^3\)

\(\Rightarrow a^3+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

\(\Rightarrow3a^2b+3ab^2=0\)\(\Rightarrow3ab\left(a+b\right)=0\)\(\Rightarrow\)\(a=0\)hoặc \(b=0\)hoặc \(a+b=0\)

* nếu a = 0  \(\Rightarrow\) \(x^2+x+2=0\)( vô lí vì luôn dương, cái này dễ chứng minh nha)

* nếu b = 0   \(\Rightarrow x+1=0\Rightarrow x=-1\)

* nếu a + b = 0 \(\Rightarrow x^2+2x+3=0\)(cái này cũng luôn dương nhé)

Vậy phương trình có 1 nghiệm là x = -1 

chúc bạn học tốt nha <3

Thanks bạn nhìu

\(x^2+xy+y^2+3y+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2.x.\frac{y}{2}+\frac{y^2}{4}\right)+3\left(\frac{y^2}{4}+y+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+3\left(\frac{y}{2}+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+\frac{y}{2}=0\\\frac{y}{2}+1=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x+\frac{y}{2}=0\\y=-2\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}}\)

thanks