Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=a>0\\y+1=b>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a-1\right)-2\left(b-1\right)\ge1\)

\(\Rightarrow a\ge2b\Rightarrow\dfrac{a}{b}\ge2\)

\(A=\dfrac{\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\)

\(A=\left(\dfrac{a}{4b}+\dfrac{b}{a}\right)+\dfrac{3}{4}.\dfrac{a}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{4ab}}+\dfrac{3}{4}.2=\dfrac{5}{2}\)

\(A_{min}=\dfrac{5}{2}\) khi \(a=2b\) hay \(x+1=2\left(y+1\right)\)

bn lm đúng r kìa

Mình có nghĩ ra cách này mấy bạn xem giúp mình ạ,

Với \(\hept{\begin{cases}x>y\\xy=1\end{cases}}\) ta có:

\(P=\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2}{x-y}+\frac{2.1}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\)

Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số \(x-y\)và \(\frac{2}{x-y}\)không âm (vì x>y)

\(P\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\)

Vậy minP = \(2\sqrt{2}\)<=> Dấu "=" xảy ra 

                                    <=> \(x-y=\frac{2}{x-y}\)

                                    <=> \(\left(x-y\right)^2=2\)

                                     <=>  \(x-y=\sqrt{2}\)(vì x - y >0)

Kết hợp với xy = 1 ta có:

\(\hept{\begin{cases}x-y=\sqrt{2}\\xy=1\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}x+\left(-y\right)=\sqrt{2}=S\\x.\left(-y\right)=-1=P\end{cases}}\)

Xét \(S^2-4P=\left(0\sqrt{2}\right)^2-4.\left(-1\right)=2+4=6>0\)

Vậy x và -y là 2 nghiệm của phương trình:

\(x^2-\sqrt{2}x+\left(-1\right)=0\)

=> \(\orbr{\begin{cases}x_1=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\\x_2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\end{cases}}\)

Vậy:  \(x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\)  và  \(y=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\)

hoặc  \(x=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\)và \(y=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\)

ĐKXĐ : x > 0

\(P=\left(\frac{1}{x+\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right):\frac{\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x+1}}\left(x>0\right)\)

\(=\left[\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right]:\frac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\)

\(=\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}.\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{\sqrt{x}}\)

\(=\frac{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{x}\)

\(=\frac{1-x}{x}\)

Phương trình 2 nghiệm phân biệt khi 

\(\Delta=\left(1-m\right)^2-4\left(-m\right).1=\left(m+1\right)^2>0\)

\(\Leftrightarrow m\ne-1\)

Hệ thức Vière : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m-1\\x_1.x_2=-m\end{cases}}\)

Khi đó \(x_1\left(5-x_2\right)\ge5\left(3-x_2\right)-36\)

<=> \(-x_1x_2+5\left(x_1+x_2\right)\ge-21\)

<=> \(-\left(-m\right)+5\left(m-1\right)\ge-21\)

\(\Leftrightarrow6m\ge-16\Leftrightarrow m\ge-\frac{8}{3}\)

Kết hợp điều kiện => \(\hept{\begin{cases}m\ge-\frac{8}{3}\\m\ne-1\end{cases}}\)thì thỏa mãn bài toán 

\(\Delta=\left(1-m\right)^2+4m=\left(m+1\right)^2>0\Rightarrow m\ne-1\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-1\\x_1x_2=-m\end{matrix}\right.\)

\(x_1\left(5-x_2\right)\ge5\left(3-x_2\right)-36\)

\(\Leftrightarrow5\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2\ge-21\)

\(\Leftrightarrow5\left(m-1\right)+m\ge-21\)

\(\Leftrightarrow m\ge-\dfrac{8}{3}\)

Kết hợp điều kiện ban đầu ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\m\ge-\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\)

`Answer:`

`x^2+4x+7=(x+4)\sqrt{x^2+7}`

Ta đặt `v=\sqrt{x^2+7}` và `v>=\sqrt{7}`

`=>v^2=x^2+7`

Phương trình trở thành: `v^2+4x=(x+4)v`

`<=>v^2-xv+4x-4v=0`

`<=>(v-4)(v-x)=0`

`<=>v=4` hoặc `v=x`

Với `v=4` ta được: `\sqrt{x^2+7}=4`

`=>x^2+7=16`

`<=>x^2=9`

`<=>x=+-3`

Với `v=x` ta được: `\sqrt{x^2+7}=x`

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x^2+7=x^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\7=0\text{(Vô lý)}\end{cases}}\Leftrightarrow x\in\varnothing\)

Đặt \(\sqrt{x^2+7}=t>0\)

Pt trở thành:

\(t^2-\left(x+4\right)t+4x=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-xt-4t+4x=0\)

\(\Leftrightarrow t\left(t-x\right)-4\left(t-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-x\right)\left(t-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=4\\t=x\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+7}=4\\\sqrt{x^2+7}=x\left(x\ge0\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+7=16\\x^2+7=x^2\left(vn\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=\pm3\)

ta có \(\Delta\)= 5²-4.(-3).2 =49>0, \(\sqrt{\Delta}\)=7

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt : x₁=\(\frac{-5-7}{2.2}\)=-3;   x_{2=\(\frac{-5+7}{2.2}\)=0,5}