Cho 3 số a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=1
Chứng minh rằng:\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{5}{2}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo C-S:
\(x^2+y^2=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\)
\(\le\sqrt{\left(1-y^2+y^2\right)\left(1-x^2+x^2\right)}=1\)
Lại có \(3x+4y\le\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(3^2+4^2\right)}\le\sqrt{5^2}=5\)
Ta có : A =\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}=\frac{1}{2.2}+\frac{1}{3.3}+\frac{1}{4.4}+...+\frac{1}{n.n}\)
< \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
= \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
= \(1-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}\)
Ta có 3(n - 1) = 3n - 3
2n = 2n
Mà 3n - 3 > 2n
=> 3(n - 1) > 2n
=> \(\frac{2}{3}>\frac{n-1}{n}\)(tính chất tỉ lệ thức)
<=> A < 2/3 (ĐPCM)
\(\left|\left|x-2\right|-3\right|=4\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\left|x-2\right|-3=4\\\left|x-2\right|-3=-4\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\left|x-2\right|=7\\\left|x-2\right|=-1\left(Lọai\right)\end{cases}}\Rightarrow\left|x-2\right|=7\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-2=7\\x-2=-7\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=9\\x=-5\end{cases}}\)
| |x-2| - 3 | = 4
\(\Rightarrow\) |x-2| - 3=4 hoặc |x-2| - 3 = -4
|x-2| =4 + 3 hoặc |x-2| =-4 + 3
|x-2| =7 hoặc |x-2| =-1
Từ đó :
\(\Rightarrow\) \(x-2=7\)HOẶC \(x-2=-1\)
\(x=7+2\)HOẶC \(x=-1+2\)
\(x=9\) HOẶC \(x=1\)
VẬY X=9 HOẶC X=1
THEO M NGHĨ LÀ THẾ
https://olm.vn/hoi-dap/detail/239526218296.html
Sử dụng phân tích tuyệt vời của Ji Chen:
\(VT-VP=\frac{4\left(a+b+c-2\right)^2+abc+3\Sigma a\left(b+c-1\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)