Cho a,b khác 0 thỏa mãn a+b=1. Chứng minh \(\frac{a}{b^3-1}+\frac{b}{a^3-1}=\frac{2\left(ab-2\right)}{a^2b^2+3}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)\)
\(=a^2\left(b-c\right)+b^2\left[\left(c-b\right)-\left(a-b\right)\right]+c^2\left(a-b\right)\)
\(=a^2\left(b-c\right)-b^2\left(b-c\right)-b^2\left(a-b\right)+c^2\left(a-b\right)\)
\(=\left(b-c\right)\left(a^2-b^2\right)-\left(a-b\right)\left(b^2-c^2\right)\)
\(=\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(a+b\right)-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(b+c\right)\)
\(=\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(a+b-b-c\right)\)
\(=\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right)\)
c) \(\left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)\left(x+7\right)+15\)
\(=\left(x+1\right)\left(x+7\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)+15\)
\(=\left(x^2+8x+7\right)\left(x^2+8x+15\right)+15\left(1\right)\)
Đặt \(x^2+8x+11=y\)Thay vào (1) ta được
\(\left(y-4\right)\left(y+4\right)+15\)
\(=y^2-16+15\)
\(=y^2-1\)
\(=\left(y-1\right)\left(y+1\right)\)
\(=\left(x^2+8x+10\right)\left(x^2+8x+11\right)\)
Goi I là trực tâm của thì I thuộc CH và . (1)
Điều kiện cần: Từ (1), kết hợp với suy ra
suy ra , mà do đó (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Vậy, nếu thì
Điều kiện đủ: trên tia đối của tia MQ lấy điểm R sao cho thì BRCQ là hình bình hành, suy ra ,
kết hợp với suy ra (3)
Mặt khác, ta có nên . Kết hợp với (1) suy ra (4)
Từ (3) và (4) suy ra PRBI là hbh nên . Mà do ó suy ra CQIP là hbh, ta có
Vậy, nếu thì
Kết luận: khi và chỉ khi . => DPCM
+) Chứng minh HP = HQ \(\Rightarrow\) MP = MQ:
Gọi J là đối xứng của C qua H. Có ngay \(\Delta\)CQH = \(\Delta\)JPH (c.g.c) => JP // CQ vuông góc BH
Từ đó P là trực tâm của \(\Delta\)BJH. Đồng thời MH là đường trung bình trong \(\Delta\)BCJ (IH // BJ)
Do vậy MH vuông góc HP, mà H là trung điểm PQ nên HM là trung trực của PQ hay MP = MQ (*)
+) Chứng minh MP = MQ \(\Rightarrow\) HP = HQ:
Bổ đề: Xét tam giác ABC cân tại A có điểm M nằm trên BC. Khi đó:
MB.MC = AB2 - AM2 nếu M thuộc đoạn BC; MB.MC = AM2 - AB2 nếu M nằm ngoài đoạn BC.
Giải bài toán: Gọi S,T thứ tự là hình chiếu của B,C trên PQ. Dễ chứng minh \(\Delta\)SMT cân tại M
Mà P,Q thuộc ST; \(\Delta\)PMQ cân tại M nên \(\Delta\)MPS = \(\Delta\)MQT (c.g.c) => PS = QT (1)
Dễ có HP.PS = PB.PL; HQ.QT = QC.QK (2). Áp dụng Bổ đề ta có PB.PL = MB2 - MP2 = MC2 - MQ2 = QC.QK (3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra HP = HQ (**)
+) Từ (*) và (**) suy ra ĐPCM.
a, gọi AD, BE, CF là đường cao của tam giác ABC
=> CE vuông góc với AB
BE vuông góc với AC
lại có Bx vuông góc với AB=> Bx//CE
Cy vuông góc với AC=> Cy//BE
=> tứ giác BHCD là hình bình hành
Đồng dư nhé bạn,hay còn gọi là đồng dư thức
Lý thuyết đồng dư thứcBạn tham khảo
Kí hiệu mod3, mod4 là kí hiệu đồng dư , hay còn gọi là đồng dư thức
Bạn cũng có thể lên mạng để biết dõ hơn nhé
Gõ ' Lý thuyết đồng dư ' để biết thêm nha
#)Giải : (Nghĩ đi nghĩ lại mới thấy nó dễ ẹc :v)
Vì BT là tia phân giác của góc \(\widehat{ABC}\)
\(\Rightarrow\widehat{SBO}=\widehat{OBC}\left(1\right)\)
Vì CS là tia phân giác của góc \(\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\widehat{TCO}=\widehat{OCB}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{SBO}=\widehat{OBC}=\widehat{TCO}=\widehat{OCB}\) hay \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A
Cái dòng này "từ (1) và (2) =>" Em nhầm rồi kìa và nếu làm thế sẽ không sử dụng ST//BC.
\(\text{3(x^2+\frac{4}{3}+\frac{4}{9}-\frac{49}{9})=3((X+\frac{2}{3})^2}-\frac{49}{9}\)
qua facebook BnoHi mình chỉ trực tiếp
Bài giải
Đặt \(A=3x^2+4x-5\)
\(=x\left(3x+4\right)-5\)
\(A\text{ đạt }GTNN\text{ khi }x\left(3x+4\right)\text{ đạt }GTNN\)
\(\text{Mà }x\left(3x+4\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\text{ GNTT của }A=0\)
\(\Leftrightarrow\text{ }x=0\)
Vậy \(GTNN\text{ của }3x^2+4x-5\text{ là }0\)
https://dominhhai.github.io/vi/2017/10/math-notation/
Bạn tham khảo link này nhé
#chanh
Kí hiệu | Ý nghĩa |
---|---|
\mathbb{A}A | Tập \mathbb{A}A bất kì |
\mathbb{N}N | Tập số tự nhiên |
\mathbb{Z}Z | Tập số nguyên |
\mathbb{Q}Q | Tập số hữu tỉ |
\mathbb{I}I | Tập số vô tỉ |
\mathbb{R}R | Tập số thực |
\{x,y,z\}{x,y,z} | Tập chứa các phần tử x,y,zx,y,z |
\{a_1,a_2,…,a_n\}{a1,a2,…,an} | Tập chứa các số nguyên từ a_1a1 tới a_nan |
[a,b][a,b] | Tập chứa các số thực trong khoảng a<ba<b, bao gồm cả aa và bb |
(a,b)(a,b) | Tập chứa các số thực trong khoảng a<ba<b, không bao gồm cả aa và bb |
[a,b)[a,b) | Tập chứa các số thực trong khoảng a<ba<b, gồm aa nhưng không gồm bb |
(a,b](a,b] | Tập chứa các số thực trong khoảng a<ba<b, gồm bb nhưng không gồm aa |
x^{(i)}x(i) | Đầu vào thứ ii trong tập huấn luyện |
y^{(i)}y(i) | Đầu ra thứ ii trong tập huấn luyện ứng với đầu vào x^{(i)}x(i) |
Số và ma trận
Kí hiệu | Ý nghĩa |
---|---|
aa | Số thực aa |
\mathbf{a}a | Véc-to cột \mathbf{a}a |
\mathbf{A}A | Ma trận \mathbf{A}A |
[a_i]_n[ai]n hoặc (a_1,….,a_m)(a1,….,am) | Véc-to hàng \mathbf{a}a cấp nn |
[a_i]_n^{\intercal}[ai]n⊺ hoặc (a_1,….,a_m)^{\intercal}(a1,….,am)⊺ | Véc-to cột \mathbf{a}a cấp nn |
\mathbf{a}\in\mathbb{R^n}a∈Rn | Véc-to cột số thực \mathbf{a}a cấp nn |
[A_{ij}]_{mn}[Aij]mn | Ma trận \mathbf{A}A cấp m \times nm×n |
\mathbf{A}\in\mathbb{R^{m \times n}}A∈Rm×n | Ma trận số thực \mathbf{A}A cấp m \times nm×n |
\mathbf{I}_nIn | Ma trận đơn vị cấp nn |
\mathbf{A}^{\dagger}A† | Giả nghịch đảo của ma trận AA (Moore-Penrose pseudoinverse) |
\mathbf{A}\odot\mathbf{B}A⊙B | Phép nhân phần tử Hadamard của ma trận \mathbf{A}A với ma trận \mathbf{B}B (element-wise (Hadamard)) |
\mathbf{a}\otimes\mathbf{b}a⊗b | Phép nhân ngoài của véc-to \mathbf{a}a với véc-to \mathbf{b}b (outer product): \mathbf{a}\mathbf{b}^{\intercal}ab⊺ |
\Vert\mathbf{a}\Vert_p∥a∥p | Norm cấp pp của véc-to \mathbf{a}a: \Vert\mathbf{a}\Vert=\bigg(\sum_i\vert x_i\vert^p\bigg)^\frac{1}{p}∥a∥=(∑i∣xi∣p)p1 |
\Vert\mathbf{a}\Vert∥a∥ | Norm cấp 2 của véc-to \mathbf{a}a (độ dài véc-to) |
a_iai | Phần tử thứ ii của véc-to \mathbf{a}a |
A_{i,j}Ai,j | Phần tử hàng ii, cột jj của ma trận \mathbf{A}A |
A_{i_1:i_2,j_1:j_2}Ai1:i2,j1:j2 | Ma trận con từ hàng i_1i1 tới i_2i2 và cột j_1j1 tới j_2j2 của ma trận \mathbf{A}A |
A_{i,:}Ai,: hoặc \mathbf{A}^{(i)}A(i) | Hàng ii của ma trận \mathbf{A}A |
A_{:,j}A:,j | Cột jj của ma trận \mathbf{A}A |
Giải tích
Kí hiệu | Ý nghĩa |
---|---|
f:\mathbb{A}\mapsto\mathbb{B}f:A↦B | Hàm số ff với tập xác định AA và tập giá trị BB |
f(x)f(x) | Hàm số 1 biến ff theo biến xx |
f(x,y)f(x,y) | Hàm số 2 biến ff theo biến xx và yy |
f(\mathbf{x})f(x) | Hàm số ff theo véc-to \mathbf{x}x |
f(\mathbf{x};\theta)f(x;θ) | Hàm số ff theo véc-to \mathbf{x}x có tham số véc-to \thetaθ |
f(x)^{\prime}f(x)′ hoặc \dfrac{df}{dx}dxdf | Đạo hàm của hàm ff theo xx |
\dfrac{\partial{f}}{\partial{x}}∂x∂f | Đạo hàm riêng của hàm ff theo xx |
\nabla_\mathbf{x}f∇xf | Gradient của hàm ff theo véc-to \mathbf{x}x |
\int_a^bf(x)dx∫abf(x)dx | Tích phân tính theo xx trong khoảng [a,b][a,b] |
\int_\mathbb{A}f(x)dx∫Af(x)dx | Tích phân toàn miền \mathbb{A}A của xx |
\int f(x)dx∫f(x)dx | Tích phân toàn miền giá trị của xx |
\log{x}logx hoặc \ln{x}lnx | Logarit tự nhiên: \log{x}\triangleq\ln{x}\triangleq\log_e{x}logx≜lnx≜logex |
\sigma(x)σ(x) | Hàm sigmoid (logis sigmoid): \dfrac{1}{1+e^{-x}}=\dfrac{1}{2}\Bigg(\tanh\bigg({\dfrac{x}{2}}\bigg)+1\Bigg)1+e−x1=21(tanh(2x)+1) |
Xác suất thống kê
Kí hiệu | Ý nghĩa |
---|---|
\hat{y}y^ | Đầu ra dự đoán |
\hat{p}p^ | Xác suất dự đoán |
\hat{\theta}θ^ | Tham số ước lượng |
J(\theta)J(θ) | Hàm chi phí (cost function) hay hàm lỗi (lost function) ứng với tham số \thetaθ |
I.I.D | Mẫu ngẫu nhiên (Independent and Idenal Distribution) |
LL(\theta)LL(θ) | Log lihood của tham số \thetaθ |
MLE | Ước lượng hợp lý cực đại (Maximum lihood Estimation) |
MAP | Cực đại xác suất hậu nghiệm (Maximum A Posteriori) |
Ta có \(\frac{a}{b^3-1}=\frac{a}{\left(b-1\right)\left(b^2+b+1\right)}=-\frac{1}{b^2+b+1}\)(Vì \(a+b=1\))
Từ đó, với \(a+b=1\)ta biến đổi VT của đẳng thức cần chứng minh như sau:
\(VT=-\left(\frac{1}{a^2+a+1}+\frac{1}{b^2+b+1}\right)=\frac{-\left(a^2+b^2+a+b+2\right)}{a^2b^2+a^2b+ab^2+ab+a^2+b^2+a+b+1}\)
\(=\frac{-\left[\left(a+b\right)^2-2ab+a+b+2\right]}{a^2b^2+ab\left(a+b+1\right)+\left(a+b\right)^2-2ab+a+b+1}=\frac{2\left(ab-2\right)}{a^2b^2+3}=VP\)
Vậy có ĐPCM.