a, Cho a \(\ge\)0 ; b \(\ge\)0 . Chứng minh bất đẳng thức Cauchy \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
b, Cho a,b,c > 0 chứng minh rằng \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
c, Cho a,b > 0 và 3a + 5b =12 . Tìm giá trị lớn nhất của tích P=ab
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
KT
0
KT
0
17 tháng 8 2019
A B C K P Q M N
Áp dụng ĐL Melelaus có \(\frac{\overline{QB}}{\overline{QC}}.\frac{\overline{MA}}{\overline{MB}}.\frac{\overline{NC}}{\overline{NA}}=1\Rightarrow\frac{\overline{QB}}{\overline{QC}}=\frac{\overline{MB}}{\overline{MA}}.\frac{\overline{NA}}{\overline{NC}}\) (1)
Áp dụng ĐL Ceva có \(\frac{\overline{MB}}{\overline{MA}}.\frac{\overline{NA}}{\overline{NC}}.\frac{\overline{PC}}{\overline{PB}}=-1\Rightarrow\frac{\overline{PB}}{\overline{PC}}=-\frac{\overline{MB}}{\overline{MA}}.\frac{\overline{NC}}{\overline{NA}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{\overline{PB}}{\overline{PC}}=-\frac{\overline{QB}}{\overline{QC}}\). Như vậy \(\left(BCPQ\right)=-1\)tức là hàng điều hòa (đpcm).
P/S: Đề bị thừa điểm O nhé bạn.
17 tháng 8 2019
Cho mình sửa dòng thứ hai: \(\frac{\overline{PB}}{\overline{PC}}=-\frac{\overline{MB}}{\overline{MA}}.\frac{\overline{NA}}{\overline{NC}}\) mới đúng.
QA
1
16 tháng 8 2019
\(M=\frac{2x+1+x^2+2-x^2-2}{x^2+2}=\frac{x^2+2-\left(x^2-2x+1\right)}{x^2+2}\)
\(M=\frac{\left(x^2+2\right)-\left(x-1\right)^2}{x^2+2}=1-\frac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\)
M lớn nhất khi \(\frac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\)nhỏ nhất
Vì \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\) và \(\left(x^2+2\right)\ge0\forall x\)nên \(\frac{\left(x+1\right)^2}{x^2+2}\)nhỏ nhất khi \(\left(x+1\right)^2=0\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(x-1=0\) \(\Leftrightarrow\)\(x=1\)
Vậy \(M_{max}=1\)khi \(x=1\)
a) Giả sử:
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\ge ab\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng )
=> đpcm
b, Bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương \(\frac{bc}{a}\)và \(\frac{ca}{b};\frac{bc}{a}\)và \(\frac{ab}{c};\frac{ca}{b}\)và \(\frac{ab}{c}\)
Ta lần lượt có : \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge\sqrt[2]{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}=2c;\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge\sqrt[2]{\frac{bc}{a}.\frac{ab}{c}}=2b;\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge\sqrt[2]{\frac{ca}{b}.\frac{ab}{c}}\)
Cộng từng vế ta đc bất đẳng thức cần chứng minh . Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c\)
c, Với các số dương \(3a\) và \(5b\), Theo bất đẳng thức Cauchy ta có \(\frac{3a+5b}{2}\ge\sqrt{3a.5b}\)
\(\Leftrightarrow\left(3a+5b\right)^2\ge4.15P\)( Vì \(P=a.b\))
\(\Leftrightarrow12^2\ge60P\)\(\Leftrightarrow P\le\frac{12}{5}\Rightarrow maxP=\frac{12}{5}\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(3a=5b=12:2\)
\(\Leftrightarrow a=2;b=\frac{6}{5}\)