Ta có: \(\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{\left(ab+1\right)+\left(a+1\right)}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu

Ta có: \(\frac{1}{\left(ab+1\right)+\left(a+1\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{a+1}\right)\)

                                                   \(=\frac{1}{4}\left(\frac{abc}{ab+abc}+\frac{1}{a+1}\right)=\frac{1}{4}\left[\frac{abc}{ab\left(1+c\right)}+\frac{1}{a+1}\right]=\frac{1}{4}\left(\frac{c}{1+c}+\frac{1}{a+1}\right)\) (1)

CMT² được: \(\frac{1}{bc+b+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\) (2)

                    \(\frac{1}{ca+c+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\) (3)

Cộng (1);(2) và (3) vế theo vế

Ta được: \(\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\le\frac{1}{4}\left[\left(\frac{c}{c+1}+\frac{1}{c+1}\right)+\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{a+1}\right)+\left(\frac{b}{b+1}+\frac{1}{b+1}\right)\right]\)

\(=\frac{1}{4}.\left(1+1+1\right)=\frac{3}{4}\)

=> đpcm

Bổ sung:

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = 1

t thk thế mà, chả lwn quan đến bây nhá, thk quản ng khác lắm à! Yêu nước ko cần lm và thể hiên như thế, choa là trẻ trâu thì m sẽ là sửu nhi đc ch, thế m đã lm đc ch, đòi t lm chứ, vô duyên! ko bt cs đứa rảnh háng đi viết cái này!

Đã duyệt xog và đăng lên rồi toàn một lũ trẩu tre nên nói thế này cũng chịu !

không biết mới học lớp 3 vậy làm thế nào hả

Bạn thấy mình ghi cho lớp 9 làm không? :))

Ai giải ra rùi hãi ghi kệ t quả ra ở trên nha 🐧

Ta có BĐT: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) (bạn tự c/m,không làm được thì bảo mình :v)

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{9}{a+2b}\) (1)

Mặt khác: Theo BĐT Bunhiacopxki:

\(\left(1a+2b\right)^2\le\left(1^2+\sqrt{2}^2\right)\left(a^2+\sqrt{2}^2b^2\right)=3.3c^2=9c^2\)

Suy ra \(a+2b\le3c\)

Mặt khác,theo đề bài \(a^2+2b^2=3c^2\Rightarrow a+2b=3c\)

Thay vào (1) suy ra \(VT\ge\frac{9}{a+2b}=\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c