Điều kiện: \(x\ge0\)

\(\sqrt{x^2+x+\frac{1}{4}}=x\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2}=x\Leftrightarrow\left|x+\frac{1}{2}\right|=x\)

Với \(x\ge0\) thì \(x+\frac{1}{2}=x\Rightarrow0=\frac{1}{2}\) (vô lý)

Vậy \(x\in\varnothing\)

Vì x,y nguyên dương nên \(2x\le2\Rightarrow x\le1\Rightarrow x=1\)

Khi đó: \(2.1+3.y=2\Rightarrow y=0\) (loại)

Vậy \(x,y\in\varnothing\)

Cho sửa lại đề tí ==* , câu b) là c/m MR // AO => MC // AO :>

O N C A M H

a. Ta có: AM = AN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra tam giác AMN cân tại A

Mặt khác AO là đường phân giác của góc MAN ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau )

Suy ra AO là đường cao của tam giác AMN ( tính chất tam giác cân )

Vậy \(OA\perp MN\)

b. Tam giác MNC nội tiếp trong đường tròn (O) có NC là đường kính nên góc (CMN) = 90^o

Suy ra: \(NM\perp MC\)

Mà \(OA\perp MN\)(chứng minh trên)

Suy ra: OA // MC

c. Ta có: \(AN\perp NC\) (tính chất tiếp tuyến)

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông AON ta có :

AO² = AN² + ON²

Suy ra : AN² = AO² – ON² = 5² – 3² = 16

AN = 4 (cm)

Suy ra: AM = AN = 4 (cm)

Gọi H là giao điểm của AO và MN

Ta có: \(MH=NH=\frac{MN}{2}\) (tính chất tam giác cân)

Tam giác AON vuông tại N có \(NH\perp AO\). Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

OA . NH = AN . ON => \(NH=\frac{\left(AN.ON\right)}{AO}=\frac{\left(4.3\right)}{5}=2,4\)

MN = 2.NH = 2.2,4 = 4,8 (cm)

Vậy .....................