Do tam giác ABC cân tại A => AB = AC = 10 cm 

Áp dụng đinh lí Py ta go cho tam giác ABK ta có : 

\(AB^2=AK^2+BK^2\)(1) 

Áp dụng định lí Py ta go cho tam giác BKC ta có : 

\(BC^2=BK^2+KC^2\)(2) 

Trừ  (1) ; (2) ta được : \(AB^2+BC^2=AK^2+2BK^2+KC^2\)

\(\Leftrightarrow100+144=AK^2+2BK^2+KC^2\)

mà \(AK+KC=AC\)hay ... nhờ cao nhân giúp :v 

Chỗ kia là Cộng (1) và (2) nhé mình thử trừ nhưng nó triệt BK rồi :< chưa kịp sửa 

\(AB^2+BC^2=AK^2+2BK^2+KC^2\)

mà AK + KC = AC 

Áp dụng công thức : \(a^2+b^2\ge2ab\)

hay \(AK^2+KC^2=2AC\)

\(\Leftrightarrow AB^2+BC^2=2AC+2BK^2\)

... 

N=22

câu trả lời là =22

Áp dụng định lí Pi - ta - go vào t/giác ABD vuông tại D, ta có:

AB² = BD² + AD² 

=> AD² = AB² - BD² = 17² - 15² = 64

=> AD = 8 (cm)

Ta có: AC = AD + DC => DC = AC - AD = 17 - 8 = 9 (cm)

Áp dụng định lí Pi - ta - go vào t/giác ADC vuông tại D, ta có:

BC² = BD² + DC² = 9² + 15² = 306

=> BC = $\sqrt{306}$(cm)

Xét

\(A=\frac{y^2\left(x+1\right)+\left(x+1\right)}{y^2+1}\)

\(=\frac{\left(x+1\right)\left(y^2+1\right)}{y^2+1}\)

\(=x+1\)

Xét 

\(B=\frac{y^2\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)}{y^2+2}\)

\(=\frac{\left(y^2+2\right)\left(x-1\right)}{y^2+2}\)

\(=x-1\)

Ta có \(A-B=x+1-x+1=2>0\)

\(\Rightarrow A>B\) 

Vậy A > B

\(M=\frac{3\left(x^2+1\right)+x^2y^2+y^2-2}{\left(x+y\right)^2+5}\)

\(=\frac{3\left(x^2+1\right)+y^2\left(x^2+1\right)-2}{\left(x+y\right)^2+5}\)

\(=\frac{\left(x^2+1\right)\left(3+y^2\right)-2}{\left(x+y\right)^2+5}\)

Ta có : x² + 1 ≥ 1 ∀ x

3 + y² ≥ 3 ∀ y

=> ( x² + 1 )( 3 + y² ) ≥ 3 ∀ x, y

=> ( x² + 1 )( 3 + y² ) - 2 ≥ 1 > 0 ∀ x, y (1)

Lại có ( x + y )² + 5 ≥ 5 > 0 ∀ x, y (2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{\left(x^2+1\right)\left(3+y^2\right)-2}{\left(x+y\right)^2+5}>0\)

hay M luôn dương ( đpcm )

Ta có :

\(M=\frac{3\left(x^2+1\right)+x^2y^2+y^2-2}{\left(x+y\right)^2+5}\)

\(=\frac{3x^2+3+x^2y^2+y^2-2}{\left(x+y\right)^2+5}\)

\(=\frac{3x^2+x^2y^2+y^2+1}{\left(x+y\right)^2+5}\)

Ta xét : \(\hept{\begin{cases}3x^2\ge0\\x^2y^2\ge0\\y^2\ge0\end{cases}\Rightarrow}3x^2+x^2y^2+y^2\ge0\Rightarrow3x^2+x^2y^2+y^2+1>0\)  (1)

và \(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2\ge0\\5>0\end{cases}\Rightarrow\left(x+y\right)^2+5>0}\) (2)

Từ (1) , (2) \(\Rightarrow\frac{3x^2+x^2y^2+y^2+1}{\left(x+y\right)^2+5}>0\) hay \(M>0\)

ta có 

\(AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{AC^2-BD^2}=8\)

\(\Rightarrow DC=AC-AD=17-8=9\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{BD^2+DC^2}=\sqrt{289}\)

ta có 

\(\left|x+11\right|+\left|x+1012\right|=\left|-x-11\right|+\left|x+1012\right|\ge\left|-x-11+x+1012\right|=1001\)

\(\left|x+21\right|+\left|x+500\right|=\left|-x-21\right|+\left|x+500\right|\ge\left|-x-21+x+500\right|=479\)

Do đó 

\(|x+11|+|x+21|+|x+500|+|x+1012|+|1032|\ge1001+479+1032=2512\)

Vậy giá trị nhỏ nhất là 2512

a) Ta có: \(AB^2+AC^2=6^2+8^2=100=10^2=BC^2\)nên theo định lý Pythagore đảo thì tam giác \(ABC\)là tam giác vuông. 

b) \(S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}.6.8=24\left(cm^2\right)\)

c) \(AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{6.8}{10}=6,8\left(cm\right)\)

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=3,6\left(cm\right)\)

\(CH=BC-BH=10-3,6=6,4\left(cm\right)\)