\(C=\frac{\cos4x.\tan2x-\sin4x}{\cos4x.\cot2x+\sin4x}\)

\(=\frac{\cos4x.\sin2x-\sin4x.\cos2x}{\cos4x.\cos2x+\sin4x.\sin2x}.\frac{\sin2x}{\cos2x}\)

\(=\frac{\sin\left(2x-4x\right)}{\cos\left(4x-2x\right)}.\frac{\sin2x}{\cos2x}=-\frac{\sin^22x}{\cos^22x}=-\tan^22x\)

đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\sqrt{\frac{yz}{x}};\sqrt{\frac{zx}{y}};\sqrt{\frac{xy}{z}}\right)\)\(\Rightarrow\)\(a^2+b^2+c^2=1\)

\(A=\Sigma\frac{1}{1-ab}=\Sigma\frac{2ab}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2ab}+3\le\frac{1}{2}\Sigma\frac{\left(a+b\right)^2}{b^2+c^2+c^2+a^2}\)

\(\le\frac{1}{2}\Sigma\left(\frac{a^2}{c^2+a^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}\right)=\frac{9}{2}\)

dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau \(\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(x+y\right)^2}\)

Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với \(\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\right)^2\ge\left(a+x\right)^2+\left(b+y\right)^2\)\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\ge2ax+2by\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)

Bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức Bunyakovsky nên (*) đúng

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có \(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\)\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\)

Ta cần chứng minh  \(\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{153}{4}\)

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy và chú ý giả thiết \(a+b+c\le\frac{3}{2}\), ta được:\(\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{\left(a+b+c\right)^2}\)\(=\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}+\frac{1215}{16\left(a+b+c\right)^2}\)\(\ge2\sqrt{\left(a+b+c\right)^2.\frac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}}+\frac{1215}{16.\frac{9}{4}}=\frac{153}{4}\)

Bất đẳng thức đã được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

pt <=>   \(2\left(x+\frac{1}{x}\right)-3\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)-1=0\)

<=>   \(2\left(x+\frac{1}{x}+2\right)-3\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)-5=0\)

<=>   \(2\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2-3\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)-5=0\)

ĐĂT:     \(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=a\)

=> PT TRỞ THÀNH:     \(2a^2-3a-5=0\)

<=>    \(\orbr{\begin{cases}a=\frac{5}{2}\\a=-1\end{cases}}\)

DO:     \(a=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\Rightarrow a>0\left(x>0~đkxđ\right)\)

=>     \(a=\frac{5}{2}\)

=>     \(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{5}{2}\)

<=>     \(\frac{x+1}{\sqrt{x}}=\frac{5}{2}\)

<=>     \(2x-5\sqrt{x}+2=0\)

<=>     \(\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=2\\\sqrt{x}=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

<=>     \(\orbr{\begin{cases}x=4\\x=\frac{1}{4}\end{cases}}\)       (ĐỀU TMĐK)

VẬY      \(x\in\left\{4;\frac{1}{4}\right\}\)

Ap dung bdt Mincopxki ta co

\(VT=\sqrt{\left(b-\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2}+\sqrt{\left(\frac{c}{2}-b\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}c\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(b-\frac{a}{2}+\frac{c}{2}-b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a+c\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{c-a}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left(a+c\right)^2}=\sqrt{a^2+c^2+ac}=VP\)