\(D=\left(x+1\right)^5-\left(x-1\right)\left(x^5+x+1\right)-3x\left(x+1\right)\\ =x^5+1^5-x^6+x^2+x-x^5-x-1-3x^2-3x\\ =\left(x^5-x^5\right)+\left(1-1\right)-x^6-\left(3x^2-x^2\right)-\left(3x-x+x\right)\\ =x^6-2x^2-3x\)

a) ABCD là hình thoi nên AB//CD và \(AB=CD\). Gọi O là giao điểm của AC và BD thì O là trung điểm của AC.

\(\Rightarrow\) AP//CQ và \(AP=\dfrac{1}{3}AB=\dfrac{1}{3}CD=CQ\) nên APCQ là hình bình hành. 

 Do đó PQ đi qua trung điểm O của AC.

 Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BAD, cát tuyến IPO, ta có:

 \(\dfrac{IA}{ID}.\dfrac{OD}{OB}.\dfrac{PB}{PA}=1\) \(\Rightarrow\dfrac{IA}{ID}.1.2=1\) \(\Rightarrow\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{1}{2}\) hay A là trung điểm ID.

 Từ đó dễ thấy IO là đường trung bình của tam giác DIB, suy ra BI//AO. Lại có \(AO\perp BD\) (tính chất hình thoi) nên \(BI\perp BD\), suy ra đpcm.

 b) Dễ thấy P là trọng tâm tam giác BID nên K là trung điểm IB hay \(BK=IK\). Ta có đpcm.

Để nhận biết hình chữ nhật ta có bốn cách nhận biết

+ Nếu 1 tứ giác có 4 góc vuôn thì tứ giá đó là hình chữ nhật

+ Nếu 1 hình thang cân có 1 góc vuông thì hình thang cân đó là hình chữ nhật

+ Nếu hình bình hành có 1 góc vuông thì hình bình hành đó là hình chữ nhật 

+ Nếu hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau thì hình bình hành đó là hình chữ nhật 

Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. Vì tổng các góc của tứ giác là 180 độ, vì vậy khi một tứ giác có 3 góc vuông thì chúng ta có thể dễ dàng suy ra góc còn lại cũng là 90 độ. Mà tứ giác có 4 góc 90 độ thì chúng ta có thể kết luận đó là hình chữ nhật

\(-x^2+3x^2-3x+1\)

\(=-\left(x^3-3x^2+3x-1\right)\)

\(=-\left(x^3-3\cdot x^2\cdot1+3\cdot x\cdot1^2-1^3\right)\)

\(=-\left(x-1\right)^3\)

Áp dụng hằng đẳng thức số 5:

\(\left(A-B\right)^5=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3\)

Gọi hai số đó có dạng: \(x,x+1\) (\(x\in N\)) 

Hiệu các bình phương của chúng là 31 nên ta có: \(\left(x+1\right)^2-x^2=31\) (1)

Giải phương trình (1) ta có:

\(\left(x+1\right)^2-x^2=31\)

\(\Leftrightarrow x^2-x^2+2x+1=31\)

\(\Leftrightarrow2x+1=31\)

\(\Leftrightarrow2x=30\)

\(\Leftrightarrow x=15\)

Vậy hai số đó là: \(15,16\)  

\(C=c\left[b\left(a+d\right)\left(b-c\right)+a\left(b+d\right)\left(c-a\right)\right]+ab\left(c+d\right)\left(a-b\right)\)

\(C=c\left[\left(ab+bd\right)\left(b-c\right)+\left(ab+ad\right)\left(c-a\right)\right]+ab\left(c+d\right)\left(a-b\right)\)

\(C=c\left[ab^2-abc+b^2d-bcd+abc-a^2b+acd-a^2d\right]+ab\left(c+d\right)\left(a-b\right)\)

\(C=c\left[\left(ab^2-a^2b\right)+\left(b^2d-a^2d\right)+\left(acd-bcd\right)\right]+ab\left(c+d\right)\left(a-b\right)\)

\(C=c\left[ab\left(b-a\right)+d\left(a+b\right)\left(b-a\right)+cd\left(a-b\right)\right]+ab\left(c+d\right)\left(a-b\right)\)

\(C=c\left(a-b\right)\left(-ab-da-db+cd\right)+ab\left(c+d\right)\left(a-b\right)\)

\(C=\left(a-b\right)\left(-abc-acd-bcd+c^2d+abc+abd\right)\)

\(C=\left(a-b\right)\left(-acd-bcd+abd+c^2d\right)\)

\(C=c\left(a-b\right)\left(c^2+ab-ac-bc\right)\)

\(C=c\left(a-b\right)\left[\left(c^2-ac\right)-\left(bc-ab\right)\right]\)

\(C=c\left(a-b\right)\left[c\left(c-a\right)-b\left(c-a\right)\right]\)

\(C=c\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)

a: ΔABC vuông cân tại A

mà AM là trung tuyến

nên AM là phân giác của góc BAC

Xét tứ giác AEDF có

góc AED=góc AFD=góc FAE=90 độ

AD là phân giác của góc FAE

=>AEDF là hình vuông

b: AEDF là hình vuông

=>góc AEF=45 độ

=>góc AEF=góc ABC

=>EF//BC

a) $AEDF$ là hình vuông.

b)  $EF$ // $BC.$

c)  $\widehat{AND}={90}^{\circ }.$

a)  $ADME$ là hình chữ nhật.

b) .Tứ giác $AMBI$ là hình thang cân

c)  điều kiện của $\Delta ABC$ để tứ giác $AMBI$ là hình vuông.

d)  $PQ\perp AM.$

a)  $ABCD$ là hình bình hành.

b)  $P,N,Q$ thẳng hàng.

c) $\Delta ABC$ cần thêm điều kiện gì để tứ giác $ABCD$ là hình vuông.