\(S=\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+...+\frac{1}{9999}\)

\(=\frac{1}{1\times3}+\frac{1}{3\times5}+\frac{1}{5\times7}+...+\frac{1}{99\times101}\)     

\(=\left(\frac{2}{1\times3}+\frac{2}{3\times5}+\frac{2}{5\times7}+...+\frac{2}{99\times101}\right)\div2\)

\(=\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{101}\right)\div2\)

\(=\left(1-\frac{1}{101}\right)\div2\)

\(=\frac{100}{101}\div2\)

\(=\frac{50}{101}\)

Vậy   \(S=\frac{50}{101}\)

cảm ơn bạn Original Kingdom

\(\frac{1}{3}y^2z^2+5y^2z^2=\left(\frac{1}{3}+5\right)y^2z^2=\frac{16}{3}y^2z^2\)

Gọi độ dài 2 cạnh góc vuông cần tìm là a và b (a>b>0)

Theo bài ra ta có: \(\frac{b}{a}=\frac{20}{21}\Rightarrow a=\frac{21}{20}b\)(1)

Áp dụng định lý py-ta-go trong tam giác vuông ta có: \(a^2+b^2=29^2\)(2)

Thay (1) vào (2) \(\left(\frac{21}{20}b\right)^2+b^2=841\)

\(\Rightarrow\frac{441}{400}b^2+b^2=841\)

\(\Rightarrow\frac{841}{400}b^2=841\)

\(\Rightarrow b^2=400\)

\(\Rightarrow b=20\left(b>0\right)\)(3)

Thay (3) vào (1): \(a=\frac{21}{20}\cdot20=21\)

Vậy hai cạnh góc vuông có độ dài là 20 và 21

Gọi độ dài cạnh góc vuông thứ nhất là \(x,x\inℕ^∗\).

Độ dài cạnh góc vuông thứ hai là: \(\frac{20}{21}x\).

Theo định lí Pythagore ta có: 

\(29^2=x^2+\left(\frac{20}{21}x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow841=\frac{841}{441}x^2\Leftrightarrow x^2=441\Leftrightarrow x=21\)(thỏa mãn) 

Độ dạnh cạnh góc vuông còn lại là: \(\frac{20}{21}.21=20\)

\(\left(7x-13\right)+\left(6x-18\right)-\left(4x+7\right)=3\)

\(\Rightarrow7x-13+6x-18-4x-7-3=0\)

\(\Rightarrow\left(7x+6x-4x\right)-\left(18+13+3+7\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(13x-4x\right)-\left(18+16+7\right)=0\)

\(\Rightarrow9x-\left(18+23\right)=0\)

\(\Rightarrow9x-41=0\)

\(\Rightarrow9x=0+41\)

\(\Rightarrow9x=41\)

\(\Rightarrow x=41:9\)

\(\Rightarrow x=41.\frac{1}{9}=\frac{41}{9}\)

Vậy \(x=\frac{41}{9}\)

(=) 7x-13+6x-18-4x-7=3

(=)7x+6x-4x=3+13+18+7

(=)9x41

(=)x=41/9