\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )

Vậy ta có đpcm

a) \(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}a\ne\pm2\\a\ne1\\a\ne0\end{cases}}\)

\(A=\left(\frac{4a}{2+a}+\frac{8a^2}{4-a^2}\right):\left(\frac{a-3}{a^2-2a}-\frac{2}{a}\right)\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{8a-4a^2+8a^2}{\left(2-a\right)\left(2+a\right)}:\frac{a-3-2a+4}{a\left(a-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{4a^2+8a}{\left(2-a\right)\left(2+a\right)}:\frac{-a+1}{a\left(a-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{4a}{2-a}:\frac{-a+1}{a\left(a-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{4a^2\left(a-2\right)}{\left(a-2\right)\left(a-1\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{4a^2}{a-1}\)

b) Để A nhận giá trị nguyên

\(\Leftrightarrow\frac{4a^2}{a-1}\inℤ\)

\(\Leftrightarrow4a^2⋮a-1\)

\(\Leftrightarrow4\left(a^2-1\right)+4⋮a-1\)

\(\Leftrightarrow4\left(a-1\right)\left(a+1\right)+4⋮a-1\)

\(\Leftrightarrow4⋮a-1\)

\(\Leftrightarrow a-1\inƯ\left(4\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\)

\(\Leftrightarrow a\in\left\{0;2;-1;3;-3;5\right\}\)

Ta sẽ loại các giá trị ở đkxđ

Vậy để \(A\inℤ\Leftrightarrow a\in\left\{2;-1;3;-3;5\right\}\)

4x^2 + 4x + 1 = x^2

<=> 4x^2 + 4x + 1 - x^2 = 0

<=> 3x^2 + 4x + 1 = 0

<=> 3x^2 + 3x + x + 1 = 0

<=> 3x(x + 1) + (x + 1) = 0

<=> (3x + 1)(x + 1) = 0

<=> 3x + 1 = 0 hoặc x + 1 = 0

<=> x = -1/3 hoặc x = -1

a) Gọi E là trung điểm BK

Chứng minh được QE là đường trung bình \(\Delta\)KBC nên QE//BC => QE _|_ AB (vì BC_|_AB) và \(QE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD\)

Chứng minh AM=QE và AM//QE => Tứ giác AMQE là hình bình hành

Chứng minh AE//NP//MQ (3) 

Xét \(\Delta AQB\)có BK và QE là 2 đường cao của tam giác

=> E là trực tâm tam giác nên AE là đường cao thứ 3 của tam giác AE _|_ BQ

=> BQ _|_ NP

b) Vẽ tia Ax vuông góc với AF. Gọi giao Ax và CD là G

Chứng minh \(\widehat{GAD}=\widehat{BAP}\)(cùng phụ \(\widehat{PAD}\)) 

=> \(\Delta\)ADG ~ \(\Delta\)ABP (gg) => \(\frac{AP}{AG}=\frac{AB}{AD}=2\Rightarrow AG=\frac{1}{2}AP\)

Ta có \(\Delta\)AGF vuông tại A có AD _|_ GF nên AG.AF=AD.GF(=2S_AGF)

=> \(AG^2\cdot AF^2=AD^2\cdot GF^2\left(1\right)\)

Ta chia cả 2 vế củ (1) cho \(AD^2\cdot AG^2\cdot AF^2\)

Mà \(AG^2+AF^2=GF^2\)(định lý Pytago)

\(\Rightarrow\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AG^2}+\frac{1}{AF^2}\Rightarrow\frac{1}{\left(\frac{1}{2}AB\right)^2}=\frac{1}{\left(\frac{1}{2}AP\right)^2}+\frac{1}{AF^2}\)

\(\Rightarrow\frac{4}{AB^2}=\frac{4}{AP^2}+\frac{1}{AF^2}\Rightarrow\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AP^2}+\frac{1}{4AF^2}\)

Cảm ơn nhiều ạ!

a) Xét tam giác HAB và tam giác ABC có:

Góc AHB= góc BAC (= 90⁰ )

B> là góc chung

⇒ tam giác HAB ~ tam giác ABC (g.g)

b) Xét ΔΔ ABC vuông tại A: BC² = AB² + AC²
Hay BC² = 12² + 16²
BC² = 144 + 256 = 400
=> BC = √400 = 20 (cm)
Ta có : Δ HAB ∼ Δ ABC
=> \(\frac{HA}{AB}=\frac{AB}{BC}\)
Hay \(\frac{HA}{12}=\frac{12}{20}\)
=> AH = \(\frac{12.12}{20}=7,2\) cm

c) 

Ta có

DE là tia phân giác của góc ADB trong tam giác DAB,

áp dụng t/c tia phân giác thì\(\frac{DA}{DB}=\frac{AE}{EB}\)

DG là tia phân giác cảu góc CDA trong tam giác CDA.

áp dụng t/c tia phân giác thì \(\frac{CD}{DA}=\frac{CF}{FA}\)

VẬy \(\frac{EA}{EB}.\frac{DB}{DC}.\frac{FC}{FA}=\frac{DA}{DB}.\frac{DB}{DC}.\frac{CD}{DA}=1\)(dpcm)

(2x -5 )² - (x +2 )² = 0
<=> ( 2x - 5 + x +2 ) . ( 2x -5 - x -2 ) = 0
<=> 3( x -1 ) . ( x - 7 ) = 0
<=> +) x -1 = 0                          +) x - 7 = 0

           x = 1                                      x = 7
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 1 ; 7 }

a) đổi 2 phút = 120 giây

Quãng đường xe ngựa đi được là:

v=s/t => s = t.v = 120. 0.5= 60(m)

Lực kéo của xe ngựa là:

A=F.s => F= A/s=15000/60=250(N)

3 bài thì thấy 1 bài có trên mạng rồi, buồn thật:( Bài cuối từ từ tí mở Maple lên check đề. Thấy lạ lạ không dám làm ngay:v

Bài 1: Ez game, chỉ là Buffalo Way, mà Ji Chen (tác giả BĐT Iran 96 có giải rồi, mình không giải lại): hard inequalities

Bài 2: Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{3x}{x+y+z};\frac{3y}{x+y+z};\frac{3z}{x+y+z}\right)\) rồi quy đồng lên xem.

Bài 3: Tí check đề cái đã.

Bài 3: Biết lắm mà: Check: \(a=b=1;c=\frac{1}{2}\) thì \(VT-VP=-\frac{1}{8}< 0\)

P/s: Nếu bạn sửa đề, hãy đăng vào bên dưới câu hỏi bạn nhé! Để người đọc còn hiểu mình đang trả lời cái nào:D

Thay a³+b³=(a+b)³-3ab(a+b) vào giả thiết ta có:

(a+b)³-3ab(a+b)+c³-3abc=0

<=> [(a+b)+c].\(\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]\)-3ab(a+b+c)=0

<=> (a+b+c) (a²+b²+c²-ab-bc+c²-3ab)=0

<=> (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=0

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\end{cases}}\)

• Nếu a+b+c=0

\(\Rightarrow A=\frac{b+a}{b}\cdot\frac{c+b}{c}\cdot\frac{a+c}{a}=\frac{-c}{b}\cdot\frac{-a}{c}\cdot\frac{-b}{a}\Rightarrow A=-1\)

• Nếu \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

<=> a=b=c

Khi đó \(A=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)