Bài này là bài cực khó, phạm vi toán lớp 10 rất khó để giải quyết trọn vẹn bài này nên mình xin phép dùng 1 số kiến thức của lớp 11, có gì khó hiểu thì bạn nhắn cho mình, hoặc nên tự tìm hiểu trên mạng nha !! :))

a) G là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\)

 \(P_{G/\left(O\right)}=OG^2-R^2=\left(\overrightarrow{OG}\right)^2-R^2=\frac{1}{9}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)^2-R^2\)

\(=\frac{\overrightarrow{OA}^2+\overrightarrow{OB}^2+\overrightarrow{OC}^2+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}}{9}-R^2\)

Vì \(\overrightarrow{OA}^2=OA^2=R^2,\overrightarrow{OB}^2=OB^2=R^2,\overrightarrow{OC}^2=OC^2=R^2\)

nên \(\frac{\overrightarrow{OA}^2+\overrightarrow{OB}^2+\overrightarrow{OC}^2+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}}{9}-R^2=\frac{3R^2+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}}{9}-R^2\)

\(=\frac{-6R^2+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}}{9}=-\frac{\left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\right)^2+\left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}\right)^2+\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\right)^2}{9}\)

\(=-\frac{\overrightarrow{BA}^2+\overrightarrow{CA}^2+\overrightarrow{CB}^2}{9}=-\frac{AB^2+AC^2+BC^2}{9}\)

b) Theo ĐỊNH LÍ EULER: \(OH=3OG\)

Theo câu a: \(9OG^2-9R^2=-AB^2-AC^2-BC^2\)

\(P_{H/\left(O\right)}=OH^2-R^2=9OG^2-9R^2+8R^2=8R^2-AB^2-AC^2-BC^2\)

Có: \(\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}=\frac{CA}{sinB}=2R\)thế lên trên ta được:

\(8R^2-AB^2-AC^2-BC^2=8R^2-4R^2sin^2C-4R^2sin^2A-4R^2sin^2B\)

\(=4R^2\left(2-sin^2A-sin^2B-sin^2C\right)=4R^2\left(cos^2A+cos^2B+cos^2C-1\right)\)(*)

Xét: \(cos^2A+cos^2B+cos^2C=\frac{1+cos2A}{2}+\frac{1+cos2B}{2}+cos^2C\)

\(=1+\frac{1}{2}\left(cos2A+cos2B\right)+cos^2C=1+cos\left(A+B\right).cos\left(A-B\right)+cos^2C\)

Xét \(cos\left(A+B\right)=cos\left(180^0+C\right)=-cosC\)thế lên trên ta được:

\(1+cos\left(A+B\right).cos\left(A-B\right)+cos^2C=1-cosC.cos\left(A-B\right)-cosC.cos\left(A+B\right)\)

\(1-cosC.\left[cos\left(A+B\right)+cos\left(A-B\right)\right]=1-2cosC.cosA.cos\left(-B\right)\)

Mà \(cos\left(-B\right)=cos\left(B\right)\)nên ta kết luận: \(cos^2A+cos^2B+cos^2C=1-2cosA.cosB.cosC\)

Thế vào (*): \(\Rightarrow P_{H/\left(O\right)}=4R^2\left(1-2cosA.cosB.cosC-1\right)=-8R^2cosA.cosB.cosC\)

Đề hơi sai nha bạn, mà thoi không sao :))

Đặt \(t=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\ge0\)thì \(\sqrt{x-x^2}=\frac{t^2-1}{2}\)

Khi đó phương trình đã cho trở thành phương trình bậc hai với ẩn là t:

\(1+\frac{t^2-1}{3}=t\Leftrightarrow t^2-3t+2=0\Leftrightarrow t=1;t=2\). Vậy ta có:

\(\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=1\\\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=2\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2\sqrt{x-x^2}=0\\VN\left(VT< 2\right)\end{cases}\Leftrightarrow}x=0,x=1}\)

\(MA+MB+MC=4MD\) 

\(MA+MC=4MD-MB\) 

\(MO+OA+MO+OC=4MO+4OD-MO-OB\) 

\(2MO=3MO+4OD+4OB-5OB\) 

\(0=MO-5OB\) 

\(5OB=MO\) 

Tới đây vẽ nha 

Câu B

Đó là:{1;2},{1;3},{1;4},{1;5},{1;6},{2;3},{2;4},{2;5},{2;6},{3;4},{3;5},{3;6},{4;5},{4;6},{5;6}

Đúng cho mình 1 k nha <3

Bẹn tự vẽ hình nhé

Vì A' đối xứng với B qua A => AA' =AB

=. \(\overrightarrow{A'A}=\overrightarrow{AB}\)

Vì B' đối xứng với C qua B => \(\overrightarrow{B'B}=\overrightarrow{BC}\)

Vì C' đối xứng với A qua C => \(\overrightarrow{C'C}=\overrightarrow{CA}\)

Ta có: \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\left(\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{A'A}\right)+\left(\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{B'B}\right)+\left(\overrightarrow{OC'}+\overrightarrow{C'C}\right)\)

\(=\left(\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{OC'}\right)+\left(\overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{B'B}+\overrightarrow{C'C}\right)\)

Lại có: \(\overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{B'B}+\overrightarrow{C'C}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)\(=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AC}=0\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{OC'}+0=\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{OC'}\)

VT=\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}\right)+\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}\right)\)

\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}\right)\)

\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{D}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\)=VP(đpcm)

Giải = 3 cách bạn êi (mà mình cũng ko cần nữa nhưng pls lần sau đọc kĩ đề trc khi trả lời ;))