\(ĐK:x\ge1\)

\(PT\Leftrightarrow x+3-4\sqrt{x+3}+4+\sqrt{x-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+3}-2\right)^2+\sqrt{x-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x+3}=2\\x-1=0\end{cases}\Leftrightarrow}x=1\left(tm\right)\)

bạn ơi câu tiếp tại A và B cắt tiếp tuyến tại M chứ 

Chứng minh tương đương: 

\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)

<=> \(\frac{a^2+b^2+2}{1+a^2+b^2+a^2b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)

<=> \(\left(1+ab\right)\left(a^2+b^2+2\right)\ge2\left(1+a^2+b^2+a^2b^2\right)\)

<=> \(a^2+b^2+2+a^3b+ab^3\ge2+2a^2+2b^2+2a^2b^2\)

<=> \(a^3b+ab^3-2a^2b^2\ge a^2+b^2-2ab\)

<=> \(ab\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge a^2+b^2-2ab\)

<=> \(ab\left(a-b\right)^2\ge\left(a-b\right)^2\)

<=> \(\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)\ge0\) luôn đúng vì a>1; b>1

Dấu "=" xảy ra <=> a - b = 0 <=> a = b.

Gọi M; N lần lượt là tiếp điểm của AB; AC  với đường tròn.

=> BI = BM = b; AM = AN = a; CN = CI = c

Theo bài ra :

AB . AC = 2IB. IC 

=> (AM + MB ) ( AN + NC) = 2IB . IC

=> ( a + b ) ( a + c ) = 2 bc

<=> a\(^2\)+ ab + ac + bc = 2bc 

<=> a\(^2\)+ ab + ac = bc

<=> 2a\(^2\)+2ab + 2ac = 2bc

<=> ( a\(^2\)+ 2ab + b\(^2\)) + ( a\(^2\)+ 2ac + c\(^2\)) = b\(^2\)+ 2bc + c\(^2\)

<=> (a + b ) \(^2\)+ ( a+ c )\(^2\)= ( b + c ) \(^2\)

=> AB \(^2\)+ AC \(^2\)= BC \(^2\)

=> Tam giác ABC vuông tại A

=> ^A = 90 độ.

<=> (a² +2ab+b²)+(a²+2ac+c²)=(b²+2bc+c²) bước này ở đâu và làm sao để xuất hiện b² và c²  vậy ạ

sửa:\(\sqrt{x+2y}+\sqrt{y+2z}+\sqrt{z+2x}\)

Áp dụng bđt AM-GM ta có:

\(\sqrt{\left(x+2y\right).1}\le\frac{x+2y+1}{2}\)

\(\sqrt{\left(y+2z\right).1}\le\frac{y+2x+1}{2}\)

\(\sqrt{\left(z+2x\right).1}\le\frac{z+2x+1}{2}\)

Cộng từng vế đẳng thức trên ta được:

\(\sqrt{x+2y}+\sqrt{y+2z}+\sqrt{z+2x}\le\frac{3\left(x+y+z\right)+3}{2}=3\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x+2y=1;y+2z=1;z+2x=1;x=y=z;x+y+z=1\)

                       \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

Vậy...