\(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)

Tương tự:

\(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)

Cộng lại:

\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{ab}{2}-\frac{bc}{2}-\frac{ca}{2}\)

\(\Rightarrow VT\ge a+b+c\)

Mặt khác:

\(\frac{9}{a+b+c}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le3\Rightarrow9\le3\left(a+b+c\right)\Rightarrow a+b+c\ge3\)

Khi đó:

\(VT\ge a+b+c\ge3\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=1\)

????????

C,         Ta có : B = \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)   Nên pt tương đương :    \(\sqrt{x}+2\sqrt{x}=x-\sqrt{7\left(x-2\right)}+7\)

                                                                              \(\Leftrightarrow3\sqrt{x}=x-\sqrt{7\left(x-2\right)}+7\)

                                                                              \(\Leftrightarrow6\sqrt{x}=2x-2\sqrt{7\left(x-2\right)}+14\)

                                                                              \(\Leftrightarrow6\sqrt{x}-x-9=x-2-2\sqrt{7\left(x-2\right)}+7\)   

                                                                               \(\Leftrightarrow-\left(\sqrt{x}-3\right)^2=\left(\sqrt{x-2}-\sqrt{7}\right)^2\)

              Vì :       \(VT\le0\)và    \(VP\ge0\)

=>   PT có nghiệm khi  \(VT=VP=0\)

=>    \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-3=0\\\sqrt{x-2}-\sqrt{7}=0\end{cases}\Leftrightarrow x=9\left(tm\right)}\)

Vậy...................

Bài 3: 2b,      Để PT (*) có 2 nghiệm phân biệt thì :       \(\Delta>0\)  hay   \(\left(-20\right)^2>4\left(m+5\right)\Leftrightarrow m< 95\)

                    Có :   \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=20\\x_1.x_2=m+5< 100\end{cases}}\) Với x₁ và x₂ là No của PT (*)

Mà x₁ và x₂  là các số nguyên tố    =>  Dễ dàng tìm được   ( x₁;x₂ )  =  ( 17;3 ) ; ( 13; 7 )

       + Với    ( x₁ ; x₂ )  =  ( 17; 3 )  thì m = 46   (t/m)

       + Với    ( x₁ ; x₂ ) = ( 13; 7 ) thì m = 86   (t/m)

    Vậy với m = 46 hoặc m = 86 thì PT có 2 No phân biệt là SNT

\(\left(a+b-c;b+c-a;c+a-b\right)=\left(x;y;z\right)\)

bđt \(\Leftrightarrow\)\(x^3+y^3+z^3\ge\frac{\left(x+y\right)^3}{8}+\frac{\left(y+z\right)^3}{8}+\frac{\left(z+x\right)^3}{8}\)

Có: \(x^3+y^3=\frac{x^4}{x}+\frac{y^4}{y}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{x+y}\ge\frac{\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\right]^2}{x+y}=\frac{\left(x+y\right)^3}{4}\)

ok rồi :) 

oh. sao t ko thấy 10 tích ở đâu nhỉ

Tớ lp 7 nên ko giải dc so sorry

Áp dụng bdt Cosi ta đc:

\(x\ge2\sqrt{\frac{a}{b}}-1\)  làm tt rồi nhân xy+yz+zx là ra;x=y=z=1