Phương trình được viết lại:

\(4x^2+4x+1=4y^4+4y^3+y^2+3y^2+4y+1\)

\(\Leftrightarrow4x^2+4x+1=\left(2y^2+y\right)^2+3y^2+4y+1\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2=\left(2y^2+y+1\right)^2+2y-y^2\)

Nếu: \(y=-1\)và \(2y-y^2< 0\Rightarrow3y^2+4y+1>0\)

\(\Rightarrow\left(2y^2+y\right)^2< \left(2x+1\right)^2< \left(2y^2+y+1\right)^2\)

Ta thấy vô lí vì \(\left(2y^2+y\right)^2;\left(2y^2+y+1\right)\)là 2 số chính phương liên tiếp.

Vì thế nên \(y\)nhận 1 trong những giá trị: \(-1;0;1;2\)

• \(y=-1\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-1\end{cases}}\)
• \(y=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-1\end{cases}}\)
• \(y=1\Rightarrow\)Không tồn tại \(x\)
• \(y=2\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=5\\x=-6\end{cases}}\)

Vậy các nghiệm nguyên của phương trình là: \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(0;-1\right),\left(-1;-1\right);\left(0;0\right);\left(-1;0\right);\left(5;2\right);\left(-6;2\right)\right\}\)

\(a,\hept{\begin{cases}2x+my=m-1\\mx+2y=3-m\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}2mx+m^2y=m^2-m\\2mx+4y=6-2m\end{cases}}\)

Trừ vế cho vế ta được:\(\left(m^2-4\right)y=m^2+m-6\left(1\right)\)

- Nếu \(m^2-4=0\Leftrightarrow m=\pm2\)

• \(m=2\left(1\right)\Leftrightarrow0y=0\)(luôn đúng)

Hệ có vô nghiệm. \(x=-y+\frac{1}{2}\)(Không thỏa \(x\in R\)khi \(y\in Z\))

• \(m=-2\left(1\right)\Leftrightarrow0y=-4\left(vn\right)\)

- Nếu \(m\ne\pm2\left(1\right)\Leftrightarrow y=\frac{m+3}{m+2}\) 

Ta tìm được \(x=-\frac{m+1}{m+2}\)

Hệ có nghiệm duy nhất:

\(\hept{\begin{cases}x=-\frac{m+1}{m+2}\\y=\frac{m+3}{m+2}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1+\frac{1}{m+2}\\y=1+\frac{1}{m+2}\end{cases}}\)\(x,y\in Z\Leftrightarrow\frac{1}{m+2}\in Z;m\in Z\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m+2=1\\m+2=-1\left(m\in Z\right)\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=-1\\m=-3\end{cases}}\)

\(b,\)Với \(m\ne\pm2\)Hệ có nghiệm duy nhất: \(\hept{\begin{cases}x_0=-1+\frac{1}{m+2}\\y_0=1+\frac{1}{m+2}\end{cases}}\)

Trừ vế cho vế ta được: \(x_0-y_0=-2\)

Đây là hệ thức liên hệ giữa \(x_0\)và \(y_0\)không phụ thuộc vào \(m\)

Theo đề: \(\sqrt[3]{x^3+5x^2}-1=\sqrt{\frac{5x^2-2}{6}}\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{x^3+5x^2}=1+\sqrt{\frac{5x^2-2}{6}}\)

\(Đkxđ:x^2\ge\frac{2}{5}\)

Đặt: \(\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{x^3+5x^2}=u\\\sqrt{\frac{5x^2-2}{6}}=v\ge0\end{cases}}\)

Ta được: \(\hept{\begin{cases}x^3+5x^2=u^3\\5x^2-2=6v^2\Rightarrow x^3+2=\left(v-1\right)^3+2\Leftrightarrow x=v-1\\u=1+v\end{cases}}\)

Từ trên ta giải được nghiệm: \(x=-6+2\sqrt{7}\)

ngu như chó

mày lại thích đi gây sự nữa à Vũ Lan Anh

Ta có: \(\left(x^2-9y^2\right)^2\ge\left(x+3y\right)^2>9y^2+6y\)

\(\Rightarrow y< 4\)

\(\Rightarrow y\in\left\{1;2;3\right\}\)

Vậy nghiệm nguyên dương \(x,y\)là \(\left(4;1\right)\)

Sao lại suy ra đc y<4 vậy bn