Ta có VP= a(bcosC - ccosB)= a(\(b.(b^2+a^2-c^2)/2ab\) - c. (\(a^2+c^2-b^2\))/ 2ac))
                                             = ab. (\(b^2+a^2-c^2)/2ab-ac.(a^2+c^2-b^2)/2ac \)
                                             = (\(2b^2-2c^2)\)/2
                                             = \(b^2-c^2\) = VT
=> đpcm

A B C D E 5 3 4

áp dụng pitago đảo cho tam giác ABC ta thấy ABC vuông tại A . Kẻ DE vuông góc với AC. Xét tam giác ABC và EDC có 

\(\hept{\begin{cases}\widehat{BAC}=\widehat{DEC}=90^o\\BC=CD\\\widehat{BCA}=\widehat{DCE}\end{cases}}\)suy ra tam giác ABC=EDC suy ra \(\hept{\begin{cases}AC=EC=4\\AB=ED=3\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}AE=8\\ED=3\end{cases}}}\)

ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ PITAGO CHO TAM GIÁC VUÔNG ADE VUÔNG TẠI E TA CÓ \(AD=\sqrt{AE^2+ED^2}=\sqrt{73}\)

Dự đoán dấu bằng: \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=5\end{cases}}\) 

Bài làm:

Ta có: 

\(A=3x+5y+\frac{4}{x}+\frac{75}{y}\)

\(A=\left(x+\frac{4}{x}\right)+\left(3x+\frac{75}{x}\right)+2\left(x+y\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có:

\(A\ge2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}+2\sqrt{3x\cdot\frac{75}{x}}+2\cdot7\)

\(=2\cdot2+2\cdot15+14=48\)

Dấu "='' xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=5\end{cases}}\)

Vậy Min(A) = 48 khi x = 2 và y = 5

\(A=3x+5y+\frac{4}{x}+\frac{75}{y}\)

\(=2\left(x+y\right)+\left(x+\frac{4}{x}\right)+\left(3y+\frac{75}{y}\right)\)

\(\ge2\times7+2\sqrt{x\times\frac{4}{x}}+2\sqrt{3y\times\frac{75}{y}}\)( AM-GM )

\(=14+4+30=48\)

Đẳng thức xảy ra khi x = 2 ; y = 5

Vậy MinA = 48, đạt được khi x = 2, y = 5

Bài này có thể biến đổi tương đương được đấy :D

BĐT cần CM tương đương: \(\frac{a^2c+b^2a+c^2b}{abc}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

Áp dụng BĐT Cauchy: \(a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\Leftrightarrow3\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\Rightarrow abc\le1\)

Khi đó: \(\frac{a^2c+b^2a+c^2b}{abc}\ge a^2c+b^2a+c^2b\)

Bây giờ ta cần CM: \(a^2c+b^2a+c^2b\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2c+b^2a+c^2b\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^3c+b^3a+c^3b+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+abc\left(a+b+c\right)\ge a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-abc\left(a+b+c\right)-a^3c-b^3a-c^3b\le0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-c\right)+b^3\left(b-a\right)+c^3\left(c-b\right)+a^2\left(b^2-ac\right)+b^2\left(c^2-ab\right)+c^2\left(a^2-bc\right)\le0\)

Đến đây cho em thời gian suy nghĩ đã ạ