Bài này có thể biến đổi tương đương được đấy :D

BĐT cần CM tương đương: \(\frac{a^2c+b^2a+c^2b}{abc}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

Áp dụng BĐT Cauchy: \(a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\Leftrightarrow3\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\Rightarrow abc\le1\)

Khi đó: \(\frac{a^2c+b^2a+c^2b}{abc}\ge a^2c+b^2a+c^2b\)

Bây giờ ta cần CM: \(a^2c+b^2a+c^2b\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2c+b^2a+c^2b\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^3c+b^3a+c^3b+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+abc\left(a+b+c\right)\ge a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-abc\left(a+b+c\right)-a^3c-b^3a-c^3b\le0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-c\right)+b^3\left(b-a\right)+c^3\left(c-b\right)+a^2\left(b^2-ac\right)+b^2\left(c^2-ab\right)+c^2\left(a^2-bc\right)\le0\)

Đến đây cho em thời gian suy nghĩ đã ạ

Cách làm dễ nhất ở đây là bình phương 2 vế

đk: \(x\le\frac{5}{2}\)

Ta có: \(\sqrt{x^2+3x+11}=5-2x\)

\(\Rightarrow x^2+3x+11=\left(5-2x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+3x+11=25-20x+4x^2\)

\(\Leftrightarrow3x^2-23x+14=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-2\right)\left(x-7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{2}{3}\left(tm\right)\\x=7\left(ktm\right)\end{cases}}\)

Vậy x = 2/3

ĐKXĐ : x ≤ 5/2

Bình phương hai vế

pt <=> x² + 3x + 11 = 4x² - 20x + 25

<=> 4x² - 20x + 25 - x² - 3x - 11 = 0

<=> 3x² - 23x + 14 = 0

Δ = b² - 4ac = (-23)² - 4.3.14 = 361

Δ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\text{Δ}}}{2a}=\frac{23+\sqrt{361}}{6}=\frac{23+19}{6}=7\left(loai\right)\)

\(x_2=\frac{-b-\sqrt{\text{Δ}}}{2a}=\frac{23-\sqrt{361}}{6}=\frac{23-19}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\left(tm\right)\)

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 2/3

\(F=\frac{x}{x^2+2}\)

với x > 0, áp dụng bđt Cauchy ta có :

\(x^2+2\ge2\sqrt{x^2+2}=2x\sqrt{2}\)

=> \(\frac{1}{x^2+2}\le\frac{1}{2x\sqrt{2}}\)

=> \(\frac{x}{x^2+2}\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\)( x > 0 nên khi nhân vào cả hai vế bđt giữ chiều )

hay \(F\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\)

đẳng thức xảy ra khi \(x=\sqrt{2}\)

vậy maxF = ​\(\frac{1}{2\sqrt{2}}\)​, đạt được khi ​\(x=\sqrt{2}\)​

nhầm dòng 3 xíu :v 

\(x^2+2\ge2\sqrt{2x^2}=2x\sqrt{2}\)

\(2x^2+\frac{1}{x^3}=\frac{2}{3}x^2+\frac{2}{3}x^2+\frac{2}{3}x^2+\frac{1}{2x^3}+\frac{1}{2x^3}\ge5\sqrt[5]{\left(\frac{2}{3}x^2\right)^3.\left(\frac{1}{2x^3}\right)^2}=5\sqrt[5]{\frac{2}{3^3}}\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(\frac{2}{3}x^2=\frac{1}{2x^3}\Leftrightarrow x=\sqrt[5]{\frac{3}{4}}\).

A B C I M H J K

a. ta có \(BI=\frac{1}{4}BA=\frac{3}{4}\)

Dễ thấy hai tam giác \(\Delta ABM~\Delta CBI\Rightarrow\frac{MB}{IB}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow MB=\frac{3}{4}.\frac{3}{4}=\frac{9}{16}\)

vậy \(\frac{BM}{BC}=\frac{9}{64}\).

b.Xét tam giác AJB ta áp dụng địh lý menelaus có

\(\frac{AC}{CJ}.\frac{JK}{KB}.\frac{BI}{IA}=1\Rightarrow\frac{JK}{KB}=\frac{3}{2}\Rightarrow\frac{BK}{KJ}=\frac{2}{3}\)

Hi chị!! Chị hãy lấy pt trên trừ phương trình dưới thì sẽ mất đc căn 2x+y =>>x=y=-2 có gì sai mong chị và mn thông cảm ạ