Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\)

Xét 2 trường hợp :

+) TH : \(\frac{a^2+16bc}{b^2+c^2}\ge\frac{a^2}{b^2}\)

Dễ thấy \(\frac{b^2+16ac}{c^2+a^2}\ge\frac{b^2}{a^2}\); \(\frac{c^2+16ab}{a^2+b^2}\ge\frac{16ab}{a^2+b^2}\)

Cần chứng minh : \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{16ab}{a^2+b^2}\ge10\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2\right)+\frac{16}{\frac{a^2+b^2}{ab}}\ge12\)\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2+\frac{16}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}\ge12\)

Đặt \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=t\)( t \(\ge\)2 )

BĐT trở thành : \(t^2+\frac{16}{t}\ge12\Leftrightarrow t^2+\frac{8}{t}+\frac{8}{t}\ge12\)

Ta có : \(t^2+\frac{8}{t}+\frac{8}{t}\ge3\sqrt[3]{t^2.\frac{8}{t}.\frac{8}{t}}=12\)

+) TH \(\frac{a^2+16bc}{b^2+c^2}< \frac{a^2}{b^2}\Leftrightarrow b^2\left(a^2+16bc\right)< a^2\left(b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow16b^3c< a^2c^2\Leftrightarrow16b^3< a^2c\)

Do \(b\ge c\)nên \(16b^3< a^2c\le a^2b\Rightarrow a^2>16b^2\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+16bc}{b^2+c^2}=16+\frac{\left(a^2-16b^2\right)+16c\left(b-c\right)}{b^2+c^2}>16\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+16bc}{b^2+c^2}+\frac{b^2+16ac}{c^2+a^2}+\frac{c^2+16ab}{a^2+b^2}>\frac{a^2+16bc}{b^2+c^2}>16>10\)

Bài toán được chứng minh . Dấu "=" xảy ra khi a = b , c = 0 và các hoán vị

P/s : bài này ở trong sách gì mà mk quên rồi

Mình thấy trong sách "Bất đẳng thức cực trị 8 9" của Võ Quốc Bá Cẩn đấy

Giả sử b=  min {a,b,c}

\(VT\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{\frac{2\left(a+b+c\right)^3}{27}}+\frac{1}{2}\left(\Sigma\frac{\left(a+b\right)^2}{ab+c^2}+\Sigma\frac{\left(a-b\right)^2}{ab+c^2}\right)\)

\(\ge\left[\frac{27\left(a^3+b^3+c^3\right)}{2\left(a+b+c\right)^3}+\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(ab+bc+ca+a^2+b^2+c^2\right)}\right]\)

Sau khi quy đồng ta cần chứng minh biểu thức sau đây không âm:

Đó là điều hiển nhiên vì b = min {a,b,c}