\(A=x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\le\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y+2\right)}\)

\(=\sqrt{x+y+2}\le\sqrt{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}+2}=\sqrt{2+\sqrt{2}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(cos^2\alpha.cot\alpha-sin^2\alpha.tan\alpha=2cot2\alpha\)

\(\Leftrightarrow cos^2\alpha.cot\alpha-sin^2\alpha.tan\alpha=\frac{cot^2\alpha-1}{cot\alpha}\)

\(\Leftrightarrow cos^2\alpha.cot^2\alpha-sin^2\alpha=cot^2\alpha-1\)

\(\Leftrightarrow\left(cos^2\alpha+sin^2\alpha\right)cot^2\alpha-sin^2\alpha cot^2\alpha-sin^2\alpha=cot^2\alpha-1\)

\(\Leftrightarrow cot^2\alpha-\left(cos^2\alpha+sin^2\alpha\right)=cot^2\alpha-1\)

\(\Leftrightarrow cot^2\alpha-1=cot^2\alpha-1\)

Đẳng thức cuối cùng đúng, mà ta biến đổi tương đương nên đẳng thức ban đầu đúng. Do đó ta có đpcm. 

Mình mong các bạn giải giúp mình bài này bởi đây là một bài khó kinh khủng =((

Các bạn nhớ chỉ dùng Cauchy hay bunnha hay j đó th nhe đừng dùng đạo hàm hay định lý karamata =((

đây là 1 câu đó 2000 năm chỉ có nhà vật lí thomas anhsan mới vẽ được

tìm tất cả các giá trị tham số m để phương trình sau \(\sqrt{x^2+2x+m}=2x+1\)có 2 nghiệm phân biệt

\(\sqrt{-3x+2}+1< x\) (ĐKXĐ: \(D=(-\infty;\frac{2}{3}]\))

\(\Leftrightarrow\sqrt{2-3x}< x-1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1>0\\2-3x< x^2-2x+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>1\\x^2+x-1>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>1\\x< \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\left(h\right)x>\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow x>1\)

Kết hợp ĐKXĐ suy ra BPT vô nghiệm.

Ấp dụng bất đẳng thức Bu-nhi -a- cốp-xki :

\(P^2 = (2x + 3y)^2 \leq (2^2+3^2)(x^2+y^2)=13a^2=117 \rightarrow a^2 = 9 \rightarrow a= 3 hoặc -3\)

\(f(x)>0 \leftrightarrow 2x-m > 0 \leftrightarrow x> \frac{m}{2} để f(x) >0 với mọi x >1 thì \frac{m}{2} \le 1 \leftrightarrow m \le 2\)