Để \(2x^2+ax-4⋮x+4\)<=> \(4-4a+32=0\)hay \(36-4a=0\)

\(\Leftrightarrow36=4a\Leftrightarrow a=9\)

Vậy a = 9 

Đặt f(x) = 2x² + ax - 4

      g(x) = x + 4

Áp dụng định lí Bézout ta có :

Số dư trong phép chia f(x) cho g(x) là một hằng số = f(-4) = 32 - 4a - 4 = 28 - 4a

Để f(x) chia hết cho g(x) thì dư = 0 hay 28 - 4a = 0 <=> a = 7

Vậy a = 7 thì f(x) chia hết cho g(x)

\(9x^2-49=0\Leftrightarrow\left(3x\right)^2-7^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-7\right)\left(3x+7\right)=0\Leftrightarrow x=\frac{7}{3};-\frac{7}{3}\)

\(\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)-x\left(x-1\right)\left(x+1\right)-27=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3-27\right)-x\left(x^2-1\right)-27=0\Leftrightarrow-54+x=0\Leftrightarrow x=54\)

\(\left(x-1\right)\left(x+2\right)-x-2=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\Leftrightarrow x=\pm2\)

\(x\left(3x+2\right)+\left(x+1\right)^2-\left(2x-5\right)\left(2x+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow3x^2+2x+x^2+2x+1-4x^2+25=0\)

\(\Leftrightarrow4x+26=0\Leftrightarrow x=-\frac{13}{2}\)

\(\left(4x+1\right)\left(x-2\right)-\left(2x-3\right)\left(2x+1\right)=7\)

\(\Leftrightarrow4x^2-8x+x-2-\left(4x^2+2x-6x-3\right)=7\)

\(\Leftrightarrow-7x-2+4x+3=7\Leftrightarrow-3x-6=0\Leftrightarrow x=-2\)

\(A=\frac{9x^2+\left|x-3\right|+x-7}{3x-2}\)

Với \(\hept{\begin{cases}x\ne\frac{2}{3}\\x< 3\end{cases}}\)

\(A=\frac{9x^2+3-x+x-7}{3x-2}=\frac{9x^2-4}{3x-2}=\frac{\left(3x-2\right)\left(3x+2\right)}{3x-2}=3x+2\)

Với x = -2 < 3 => A = 3.(-2) + 2 = -4

ABCD là hình bình hành nên AO = OC (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Xét tứ giác AFCE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường => AFCE là hình bình hành

=> CF // AE => CF // AB (do E nằm trên AB)

Lại có CD // AB (do ABCD là hình bình hành)

Suy ra C, F, D thẳng hàng (vì qua C chỉ có 1 đường thẳng song song với AB)

\(A=\left(-x^2+10xy-25y^2\right)+\left(-y^2-20y-100\right)-50\)

\(=-\left(x^2-10xy+25y^2\right)-\left(y-10\right)^2-50\)

\(=-\left(x-5y\right)^2-\left(y-10\right)^2-50\le-50\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x-5y=0\\y-10=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=10\\x=5y=50\end{cases}}}\)

Vậy MAX A = -50 khi x=50, y=10

\(B=\left(-x^2+2xy-y^2\right)+\left(-y^2-2.y.\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\frac{5}{4}\)

\(B=-\left(x-y\right)^2-\left(y+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\le\frac{5}{4}\)

B lớn nhất bằng \(\frac{5}{4}\) khi \(\hept{\begin{cases}x-y=0\\y+\frac{1}{2}=0\end{cases}}\) hay \(x=y=-\frac{1}{2}\)

Ta có: \(5x^2+10yz\le5\left(x^2+y^2+z^2\right)=9x\left(y+z\right)+18yz\)\(\Leftrightarrow5x^2\le9x\left(y+z\right)+8yz\le9x\left(y+z\right)+2\left(y+z\right)^2\)\(\Leftrightarrow5\left(\frac{x}{y+z}\right)^2-9\left(\frac{x}{y+z}\right)-2\le0\Leftrightarrow\left(\frac{5x}{y+z}+1\right)\left(\frac{x}{y+z}-2\right)\le0\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y+z}\le2\)(Do \(\frac{5x}{y+z}+1>0\forall x,y,z>0\)) 

\(\Leftrightarrow x\le2\left(y+z\right)\Leftrightarrow x+y+z\le3\left(y+z\right)\)

\(\Rightarrow P\le\frac{2x}{\left(y+z\right)^2}-\frac{1}{\left(x+y+z\right)^3}\le\frac{4\left(y+z\right)}{\left(y+z\right)^2}-\frac{1}{\left(3y+3z\right)^3}\)

\(=\frac{4}{y+z}-\frac{1}{27\left(y+z\right)^3}\)

Đặt \(\frac{1}{y+z}=t\)thì \(P\le4t-\frac{1}{27}t^3-16+16=-\frac{1}{27}\left(t-6\right)^2\left(t+12\right)+16\le16\)

Vậy MaxP = 16 khi \(\left(x,y,z\right)=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{12},\frac{1}{12}\right)\)

3x^3 + 10x^2 - 5 + n chia hết cho đa thức 3x + 1
Đặt 3x^3 + 10x^2 - 5 + n là A
Theo định lý bơ du:
3x+1=0=>x=-1/3
Thay vào A
A=a-4
Để A chia hết 3x+1
thì a-4=0=>a=4

Đặt f(x) = 3x³ + 10x² + a - 5

      g(x) = 3x + 1

      h(x) là thương trong phép chia f(x) cho g(x)

Ta có f(x) chia hết cho g(x) <=> f(x) = g(x).h(x)

<=> 3x³ + 10x² + a - 5 = ( 3x + 1 ).h(x) (1)

Với x = -1/3 

(1) <=> a - 4 = 0 => a = 4

Vậy a = 4 thì f(x) chia hết cho g(x)

\(A=\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{b^2-a^2-c^2}+\frac{c^2}{c^2-b^2-a^2}\)

\(A=\frac{a^2}{\left(b+c\right)^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{\left(a+c\right)^2-a^2-c^2}+\frac{c^2}{\left(a+b\right)^2-b^2-a^2}\)

\(A=\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2ab}\)

\(A=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\)

Có \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3abc=3abc\)nên

\(A=\frac{3}{2}\).