Ta thấy: \(2024\equiv1\) (\(mod\) \(2023\))
\(20242024\equiv1909\) (\(mod\) \(2023\))
...
\(2024...2024:2023\) dư một số nào đó là một trong các số từ \(1\) đến \(2022\) (\(2023\) số).
* Xét \(2024\) số: \(2024;20242024;...;20242024...2024\) (Gồm \(2024\) bộ số \(2024\))
 + Lấy \(2024\) số trên chia cho \(2023\), ta có \(2024\) số dư từ \(0\) đến \(2022\).
\(\Rightarrow\) Tồn tại hai số chia cho \(2023\) có cùng số dư.
Giả sử hai số đó là \(a=2024...2024\) (\(i\) bộ số \(2024\)) và \(b=2024...2024\) (\(j\) bộ số \(2024\)) \(\left(1\le i\le j\le2024\right)\)
+ \(a-b=2024...2024\cdot10^{4i}\) (\(j-i\) bộ số \(2024\)) chia hết cho \(2023\)
+ \(ƯCLN\left(10^{4i};2023\right)=1\)
\(\Rightarrow2024...2024\) (\(j-i\) bộ số \(2024\)) chia hết cho \(2023\) \(\left(đpcm\right)\).

\(x^4-3x+2=x\left(x^3+ax^2+bx-2\right)-\left(x^3+ax^2+bx-2\right)\)

\(\Rightarrow x^4-3x+2=x^4+\left(a-1\right)x^3+\left(b-a\right)x^2-\left(b+2\right)x+2\)

Đồng nhất hệ số 2 vế ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}a-1=0\\b-a=0\\b+2=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=1\)

\(x^4-3x+2=\left(x-1\right)\left(x^3+ax^2+bx-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3+x^2+x-2\right)=\left(x-1\right)\left(x^3+ax^2+bx-2\right)\)
\(\Rightarrow x^3+x^2+x-2=x^3+ax^2+bx-2\)
\(\Rightarrow1\cdot x^2+1\cdot x=ax^2+bx\)
\(\Rightarrow a=1\) và \(b=1\)

Câu 1:

\(ĐK:x-2023\ne0\Leftrightarrow x\ne2023\) 

Câu 2: 

\(ĐK:x^2-9\ne0\Leftrightarrow x^2\ne9\Leftrightarrow x\ne\pm3\)

Câu 3: 

Phân thức đổi của phân thức `(-2y)/(5x^3)` là: `(2y)/(5x^3)` 

Câu 4:

\(\dfrac{1-x^2}{x\left(1-x\right)}=\dfrac{1^2-x^2}{x\left(1-x\right)}=\dfrac{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}{x\left(1+x\right)}=\dfrac{1-x}{x}\left(x\ne0;x\ne1\right)\) 

Câu 5: 

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x-2\ne0\\x+1\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne2\\x\ne-1\end{matrix}\right.\) 

Câu 6: 

\(\dfrac{x^2+y^2}{x-y}+\dfrac{-2xy}{x-y}=\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x-y}=\dfrac{\left(x-y\right)^2}{x-y}=x-y\left(x\ne y\right)\) 

Câu 7: 

MTC là: \(5\left(x-3\right)\left(x+3\right)\)

Câu 8: 

\(\dfrac{2020^3-1}{2020^2+2021}=\dfrac{\left(2020-1\right)\left(2020^2+2020+1\right)}{2020^2+2020+1}=2020-1=2019\) 

Câu 9: 

\(\Delta ABC\sim\Delta PNM\)

Câu 10: 

Tỉ số đồng dạng:

\(\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{1}{2}\) 

Câu 11:

Cần thêm đk: \(\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{A'C'}{AC}\) 

Câu 12: 

AD là tia phân giác của góc A ta có:

\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}\Rightarrow\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{\sqrt{BC^2-AB^2}}=\dfrac{8}{\sqrt{10^2-8^2}}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}\)

\(A=\dfrac{x^2}{x^2-y^2-z^2}+\dfrac{y^2}{y^2-z^2-x^2}+\dfrac{z^2}{z^2-x^2-y^2}\)

\(=\dfrac{x^2}{\left(-y-z\right)^2-y^2-z^2}+\dfrac{y^2}{\left(-x-z\right)^2-z^2-x^2}+\dfrac{z^2}{\left(-x-y\right)^2-x^2-y^2}\)

\(=\dfrac{x^2}{2yz}+\dfrac{y^2}{2zx}+\dfrac{z^2}{2xy}=\dfrac{x^3+y^3+z^3}{3xyz}\)

\(=\dfrac{x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+z^3-3xy\left(x+y\right)}{2xyz}\)

\(=\dfrac{\left(x+y\right)^3+z^3-3xy.\left(-z\right)}{2xyz}\)

\(=\dfrac{\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-z.\left(x+y\right)+z^2\right]+3xyz}{2xyz}\)

\(=\dfrac{0+3xyz}{2xyz}=\dfrac{3}{2}\)

Xét △ABC và △HBA có:
BAC=BHA(=90 độ)

ABC chung

=>ΔABC \(\sim\)ΔHBA

=>AB/HB=BC/BA

=>AB^2=HB.BC

Xét ΔHBA và ΔHAC có

AHB=AHC(=90 độ)

ABH=CAH(phụ BAH)

=>ΔHBA\(\sim\)ΔHAC

=>AH/CH=BH/AH

=>AH^2=BH.CH

c. Ta có: BM/MA=EB/EA

              AE/EC=BA/BC

             CN/BN=EC/BE

BM/MA.AE/EC.CN/BN=EB/EA.BA/BC.EC/BE

=>Để BM/MA.AE/EC.CN/BN=1 thì <=> EB/EA.BA/BC.EC/BE=1
(EB.BA.EC)/(EA.BC.BE)=1

<=>(BA.EC)/(EA.BC)=1

<=>BA.EC=EA.BC

<=>BA/BC=AE/EC
mà BA/BC=AE/EC(t/c đg phân giác)

=>BM/MA.AE/EC.CN/BN=1

\(B=3x^2+3y^2+z^2+5xy-3yz-3xz-2x-2y+3\\\Rightarrow4A=12x^2+12y^2+4z^2+20xy-12yz-12xz-8x-8y+12\\\\=[(9x^2+18xy+9y^2)-(12xz+12yz)+4z^2]+[(2x^2+4xy+2y^2)-(8x+8y)+8]+(x^2-2xy+y^2)+4\\=[(3x+3y)^2-2\cdot(3x+3y)\cdot2z+(2z)^2]+[2(x^2+2xy+y^2)-8(x+y)+8]+(x-y)^2+4\\=(3x+3y-2z)^2+2[(x+y)^2-4(x+y)+4]+(x-y)^2+4\\=(3x+3y-2z)^2+2(x+y-2)^2+(x-y)^2+4\)

Ta thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(3x+3y-2z\right)^2\ge0\forall x,y,z\\2\left(x+y-2\right)^2\ge0\forall x,y\\\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(3x+3y-2z\right)^2+2\left(x+y-2\right)^2+\left(x-y\right)^2+4\ge4\forall x,y,z\)

\(\Leftrightarrow4B\ge4\Leftrightarrow B\ge1\)

Dấu \("="\) xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}3x+3y-2z=0\\x+y-2=0\\x-y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=x\\2x=2\\2z=6x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y=1\\z=3\end{matrix}\right.\)

Vậy \(Min_B=1\) khi \(x=y=1;z=3\).

\(Toru\)

a: Xét ΔBAC có AM là phân giác

nên \(\dfrac{BM}{MC}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{BM}{MC}=\dfrac{a}{b}\)

=>\(\dfrac{BM}{a}=\dfrac{MC}{b}\)

mà BM+MC=BC=a

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{BM}{a}=\dfrac{MC}{b}=\dfrac{BM+MC}{a+b}=\dfrac{a}{a+b}\)

=>\(BM=\dfrac{a\cdot a}{a+b}=\dfrac{a^2}{a+b}\)

Xét ΔBCA có CN là phân giác

nên \(\dfrac{BN}{NA}=\dfrac{BC}{CA}\)

=>\(\dfrac{BN}{NA}=\dfrac{a}{b}\)

=>\(\dfrac{BN}{NA}=\dfrac{BM}{MC}\)

Xét ΔBAC có \(\dfrac{BN}{NA}=\dfrac{BM}{MC}\)

nên MN//AC

b: Xét ΔBAC có MN//AC

nên \(\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{BM}{BC}\)

=>\(\dfrac{MN}{b}=\dfrac{a^2}{a+b}:a=\dfrac{a}{a+b}\)

=>\(MN=\dfrac{a\cdot b}{a+b}\)

a: 

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

2x-4=x+4

=>2x-x=4+4

=>x=8

Thay x=8 vào y=x+4, ta được:

y=8+4=12

Vậy: Q(8;12)

Tọa độ N là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=2\cdot0-4=-4\end{matrix}\right.\)

Vậy: N(0;-4)

Tọa độ M là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0+4=4\end{matrix}\right.\)

Vậy: M(0;4)

M(0;4); N(0;-4); Q(8;12)

\(MN=\sqrt{\left(0-0\right)^2+\left(-4-4\right)^2}=8\)

\(MQ=\sqrt{\left(8-0\right)^2+\left(12-4\right)^2}=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}\)

\(NQ=\sqrt{\left(8-0\right)^2+\left(12+4\right)^2}=\sqrt{8^2+16^2}=8\sqrt{5}\)

Xét ΔMNQ có \(cosMNQ=\dfrac{NM^2+NQ^2-MQ^2}{2\cdot NM\cdot NQ}=\dfrac{256}{2\cdot8\cdot8\sqrt{5}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

=>\(sinMNQ=\sqrt{1-\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

Diện tích ΔMNQ là:

\(S_{MNQ}=\dfrac{1}{2}\cdot NM\cdot NQ\cdot sinMNQ\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot8\cdot8\sqrt{5}=\dfrac{64}{2}=32\)

a: Để \(f\left(x\right)=\dfrac{2}{\left|x\right|-2}\) có nghĩa thì \(\left|x\right|-2\ne0\)

=>\(\left|x\right|\ne2\)

=>\(x\in R\backslash\left\{2;-2\right\}\)

b: Để \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{2-x}+\dfrac{1}{x+3}\) có nghĩa thì \(\left\{{}\begin{matrix}2-x\ne0\\x+3\ne0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\ne2\\x\ne-3\end{matrix}\right.\)