Giải hệ phương trình\(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{\sqrt{x+1}}=\frac{4}{\sqrt{x+1}+\sqrt{y}}-1\\y+\frac{1}{\sqrt{y}}=2\sqrt{xy+y}\end{cases}}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\hept{\begin{cases}6x^2-xy-2y^2=56\\5x^2-xy-y^2=49\end{cases}}\)
Lấy phương trình 1 trừ phương trình 2 ta được :
\(\left(6x^2-xy-2y^2\right)-\left(5x^2-xy-y^2\right)=56-49\)
\(< =>6x^2-xy-2y^2-5x^2+xy+y^2=7\)
\(< =>\left(6x^2-5x^2\right)+\left(xy-xy\right)-\left(2y^2-y^2\right)=7\)
\(< =>x^2-y^2=7\)\(< =>\left(x-y\right)\left(x+y\right)=7\)
\(< =>\hept{\begin{cases}x-y\\x+y\end{cases}=\hept{\begin{cases}1\\7\end{cases}=\hept{\begin{cases}7\\1\end{cases}=\hept{\begin{cases}-1\\-7\end{cases}=\hept{\begin{cases}-7\\-1\end{cases}}}}}}\)
Với \(\hept{\begin{cases}x-y=1\\x+y=7\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}x=1+y\\x+y=7\end{cases}}}\)
Lấy pt 1 thay vào pt 2 ta có :
\(1+y+y=7< =>2y=7-1< =>y=\frac{7-1}{2}=3\)
khi đó : \(x=1+y=1+3=4\)
Với \(\hept{\begin{cases}x-y=7\\x+y=1\end{cases}}< =>\hept{\begin{cases}x=7+y\\x+y=1\end{cases}}\)
Lấy pt 1 thay vào pt 2 ta có :
\(7+y+y=1< =>2y=1-7< =>y=\frac{1-7}{2}=-3\)
khi đó : \(x=7+y=7+\left(-3\right)=4\)
Với \(\hept{\begin{cases}x-y=-1\\x+y=-7\end{cases}}< =>\hept{\begin{cases}x=-1+y\\x+y=-7\end{cases}}\)
Lấy pt 1 thay vào pt 2 ta có :
\(-1+y+y=-7< =>2y=-7+1=-6< =>y=-\frac{6}{2}=-3\)
khi đó : \(x=-1-3=-4\)
Với \(\hept{\begin{cases}x-y=-7\\x+y=-1\end{cases}}< =>\hept{\begin{cases}x=-7+y\\x+y=-1\end{cases}}\)
Lấy pt 1 thay vào pt 2 ta có :
\(-7+y+y=-1< =>2y=-1+7=6< =>y=\frac{6}{2}=3\)
khi đó : \(x+3=-1< =>x=-1-3=-4\)
Vậy ta có 4 bộ số sau thỏa mãn hệ pt trên \(\left\{x;y\right\}=\left\{-4;3\right\};\left\{-4;-3\right\};\left\{4;-3\right\};\left\{4;3\right\}\)
\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2=xy+3y-1\\x+y=\frac{x^2+y+1}{1+x^2}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2+xy-3y+1=0\\x+y=\frac{y}{1+x^2}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}y\left(x+y-1\right)=-\left(x^2+1\right)\\x+y-1=\frac{y}{1+x^2}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{y}{1+y}\left(x+y-3\right)=-1\\x+y-3=\frac{y}{1+x^2}-2\end{cases}}}\)
Đặt \(\frac{y}{x^2+1}=1;x+y-3=b\)
hệ phương trình trở thành \(\hept{\begin{cases}ab=-1\\a-b=2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b\left(b+2\right)=-1\\a-b=2\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}\left(b+1\right)^2=0\\a=2+b\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}b=-1\\a=1\end{cases}}}\)
đến đây thay vào tìm x,y
Đặt \(x^{10}=a\ge0\)
Khi đó:
\(a^{10}-10a+2029\)
\(=\left(a^{10}+1+1+1+1\right)-10a+2025\)
\(\ge5\sqrt[5]{a^{10}}-10a+2025\)
\(=5a^2-10a+2025\)
\(=5\left(a^2-2a+1\right)+2020\)
\(=5\left(a-1\right)^2+2020\ge2020\)
Đẳng thức xảy ra tại x=1 hoặc x=-1
Hôm nay sol vài bài trên olm rồi off tiếp
\(\sqrt{xy+y}=\sqrt{y\left(x+1\right)}\)
ĐKXĐ: \(x>-1,y>0\)
Đặt \(\sqrt{x+1}=a;\sqrt{y}=b\left(a,b>0\right)\)
HPT \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2-1+\frac{1}{a}=\frac{4}{a+b}-1\\b^2+\frac{1}{b}=2ab\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^4+a^3b-3a+b=0\\2ab^2-b^3-1=0\end{cases}}\)
PT(2) \(\Leftrightarrow2ab^2=\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)\Rightarrow a=\frac{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}{2b^2}\)
Thay ngược lên pt(1) tương đương \(\left(3b^6+8b^3+1\right)\left(b^3-1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow b=1\rightarrow a=1\)
HPT có nghiệm duy nhất a = b = 1
Khúc sau từ suy ra x, y nhé. Quên mất lỡ bấm gửi.