\(P=\dfrac{3\left(x^2+1\right)}{3\left(x^2-x+1\right)}=\dfrac{2\left(x^2-x+1\right)+x^2+2x+1}{3\left(x^2-x+1\right)}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{\left(x+1\right)^2}{3\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{9}{4}}\ge\dfrac{2}{3}\)

\(P=\dfrac{2\left(x^2-x+1\right)-x^2+2x-1}{x^2-x+1}=2-\dfrac{\left(x-1\right)^2}{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}\le2\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{3}\le P\le2\)

Mà P nguyên \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}P=1\\P=2\end{matrix}\right.\)

- Với \(P=1\Rightarrow\dfrac{x^2+1}{x^2-x+1}=1\Rightarrow x^2+1=x^2-x+1\)

\(\Rightarrow x=0\)

- Với \(P=2\Rightarrow\dfrac{x^2+1}{x^2-x+1}=2\Rightarrow x^2+x=2\left(x^2-x+1\right)\)

\(\Rightarrow x^2-2x+1=0\Rightarrow x=1\)

Vậy \(x=\left\{0;1\right\}\)

1: \(\dfrac{DM}{DE}=\dfrac{2}{5}\)

\(\dfrac{DN}{DF}=\dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5}\)

Do đó: \(\dfrac{DM}{DE}=\dfrac{DN}{DF}\)

2: Xét ΔDEF có \(\dfrac{DM}{DE}=\dfrac{DN}{DF}\)

nên MN//EF

Bài 2:

a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔBCD vuông tại C có

\(\widehat{ABH}=\widehat{BDC}\)(hai góc so le trong, AB//CD)

Do đó; ΔAHB~ΔBCD

b: Ta có: ΔABD vuông tại A

=>\(BD^2=AB^2+AD^2\)

=>\(BD^2=9^2+12^2=225\)

=>\(BD=15\left(cm\right)\)

Xét ΔABD vuông tại A có AH là đường cao

nên \(S_{ABD}=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BD=\dfrac{1}{2}\cdot AD\cdot AB\)

=>\(AH\cdot BD=AB\cdot AD\)

=>\(AH\cdot15=9\cdot12=108\)

=>AH=108/15=7,2(cm)

c: ΔAHB vuông tại H

=>\(AH^2+HB^2=AB^2\)

=>\(HB^2=12^2-7,2^2=9,6^2\)

=>HB=9,6(cm)

ΔHAB vuông tại H

=>\(S_{HAB}=\dfrac{1}{2}\cdot HA\cdot HB=\dfrac{1}{2}\cdot7,2\cdot9,6=34,56\left(cm^2\right)\)

Bài 1:

a: ΔACB vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=12^2+16^2=400=20^2\)

=>BC=20(cm)

b: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\dfrac{DB}{AB}=\dfrac{DC}{AC}\)

=>\(\dfrac{DB}{12}=\dfrac{DC}{16}\)

=>\(\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}\)

mà DB+DC=BC=20cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}=\dfrac{DB+DC}{3+4}=\dfrac{20}{7}\)

=>\(DB=\dfrac{20}{7}\cdot3=\dfrac{60}{7}\left(cm\right);DC=4\cdot\dfrac{20}{7}=\dfrac{80}{7}\left(cm\right)\)

c: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

\(\widehat{ABC}\) chung

Do đó: ΔABC~ΔHBA

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔCHA vuông tại H có

\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)

Do đó: ΔAHB~ΔCHA

d: Ta có: ΔABC~ΔHBA

=>\(\dfrac{AC}{HA}=\dfrac{BC}{BA}\)

=>\(\dfrac{16}{HA}=\dfrac{20}{12}=\dfrac{5}{3}\)

=>\(HA=16\cdot\dfrac{3}{5}=9,6\left(cm\right)\)

giúp 2 bài này với ạ!!

Mọi người giúp mình gấp với, huhuhu

Ta có: \(5a^2+2b^2=11ab\)

\(\Leftrightarrow5a^2-11ab+2b^2=0\)

\(\Leftrightarrow5a^2-10ab-ab+2b^2=0\)

\(\Leftrightarrow5a\left(a-2b\right)-b\left(a-2b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)\left(5a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a-2b=0\\5a-b=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2b\\5a=b\end{matrix}\right.\) (1)

Lại có: \(a>\dfrac{b}{5}>0\Rightarrow5a>b\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a=2b\)

Thay \(a=2b\) vào \(A\), ta được:

\(A=\dfrac{4\left(2b\right)^2-5b^2}{\left(2b\right)^2+3\cdot2b\cdot b}=\dfrac{16b^2-5b^2}{4b^2+6b^2}=\dfrac{11b^2}{10b^2}=\dfrac{11}{10}\)

Vậy \(A=\dfrac{11}{10}\) là giá trị cần tìm.

a: Xét ΔADB vuông tại D có DE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AD^2\left(1\right)\)

Xét ΔADC vuông tại D có DF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AD^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

=>\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

Xét ΔAEF vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

Do đó: ΔAEF~ΔACB

b: TH1: AD là đường trung tuyến

ΔABC vuông tại A có AD là đường trung tuyến

nên AD=DB=DC

\(\dfrac{1}{DB^2}+\dfrac{1}{DC^2}=\dfrac{1}{DA^2}+\dfrac{1}{DA^2}=\dfrac{2}{DA^2}\)

=>Đúng với GT

Đề bài cho tam giác ABC cân tại A đúng không em? Chỉ như vậy thì BK=2HD thôi

Ta có: H là trung điểm BC

\(BK||HD\) (cùng vuông góc CK)

\(\Rightarrow\) HD là đường trung bình tam giác BCK

\(\Rightarrow HD=\dfrac{1}{2}BK\Rightarrow BK=2HD\)