a) Do BD và CE là hai đường cao của ∆ABC (gt)

Mà I là giao điểm của BD và CE (gt)

⇒ AM là đường cao thứ ba của ∆ABC

⇒ AM ⊥ BC

Do ∆ABC cân tại A (gt)

AM là đường cao của ∆ABC (cmt)

⇒ AM cũng là đường trung trực của ∆ABC

⇒ M là trung điểm của BC

b) Do ∆ABC cân tại A (gt)

⇒ AB = AC

Xét hai tam giác vuông: ∆ADB và ∆AEC có:

AB = AC (cmt)

∠A chung

⇒ ∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ AD = AE (hai cạnh tương ứng)

c) Do AB = AC (cmt)

AE = AB (cmt)

Trừ vế với vế, ta có:

AB - AE = AC - AD

⇒ BE = CD

Do ∆ABC cân tại A (gt)

⇒ ∠ABC = ∠ACB

⇒ ∠EBM = ∠DCM

Do M là trung điểm của BC (cmt)

⇒ BM = CM

Xét ∆BEM và ∆CDM có:

BE = CD (cmt)

∠EBM = ∠DCM (cmt)

BM = CM (cmt)

⇒ ∆BEM = ∆CDM (c-g-c)

⇒ EM = DM (hai cạnh tương ứng)

∆MED có:

EM = DM (cmt)

⇒ ∆MED cân tại M

Để chứng minh rằng \( BM = CN \), chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác cân.

Vì tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), nên ta có \( AM = MC \) và \( AN = NB \), vì \( M \) là trung điểm của \( AC \) và \( N \) là trung điểm của \( AB \).

Bây giờ, ta cần chứng minh \( BM = CN \).

Ta có thể sử dụng định lí đối xứng của tam giác để chứng minh điều này.

Xét tam giác \( AMC \) và \( ANB \):

- \( AM = MC \) (vì \( M \) là trung điểm của \( AC \))

- \( AN = NB \) (vì \( N \) là trung điểm của \( AB \))

- \( AC = AB \) (vì tam giác \( ABC \) cân tại \( A \))

Theo định lí đối xứng của tam giác, ta có \( BM = CN \), vì hai tam giác \( AMC \) và \( ANB \) là đối xứng với nhau qua đường trung tuyến \( MN \).

Do đó, \( BM = CN \).

sai rồi

1 USD =100 cents nên 50 cents =0,5 USD

50 cent = 0,5 USD 

cũng dễ

a) Do ∆ADB vuông cân tại A (gt)

⇒ AB = AD

Do ∆AEC vuông cân tại A (gt)

⇒ AE = AC

Xét hai tam giác vuông: ∆ABC và ∆ADE có:

AB = AD (cmt)

AC = AE (cmt)

∆ABC = ∆ADE (hai cạnh góc vuông)

⇒ BC = DE (hai cạnh tương ứng)

b) Do ∆ADE vuông cân tại A (gt)

⇒ ∠ADB = ∠ABD = 45⁰

Do ∆AEC vuông cân tại A (gt)

⇒ ∠ACE = ∠AEC = 45⁰

⇒ ∠ACE = ∠ADB = 45⁰

Mà ∠ACE và ∠ADB là hai góc so le trong

⇒ DB // EC

c) Do AH ⊥ BC (gt)

⇒ MH ⊥ CN

Do AF ⊥ MC (gt)

⇒ NF ⊥ MC

∆CMN có:

MH ⊥ CN (cmt)

NF ⊥ MC (cmt)

⇒ MH và NF là hai đường cao của ∆CMN

Mà MH cắt NF tại A

⇒ CA là đường cao thứ ba của ∆CMN

⇒ CA ⊥ MN

d) Em xem lại đề nhé

a) ∆ABD có:

BA = BD (gt)

⇒ ∆ABD cân tại B

⇒ ∠BAD = ∠BDA

b) Do DK ⊥ AC (gt)

AB ⊥ AC (do ∆ABC vuông tại A)

⇒ DK // AB

⇒ ∠ADK = ∠BAD (so le trong)

Mà ∠BAD = ∠BDA (cmt)

⇒ ∠ADK = ∠BDA

⇒ ∠ADK = ∠HDA

Xét hai tam giác vuông: ∆ADK và ∆ADH có:

AD là cạnh chung

∠ADK = ∠HDA (cmt)

⇒ ∆ADK = ∆ADH (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ ∠DAK = ∠DAH (hai góc tương ứng)

⇒ ∠DAC = ∠DAH

⇒ AD là tia phân giác của ∠HAC

c) Do ∆ADK = ∆ADH (cmt)

⇒ AK = AH (hai cạnh tương ứng)

d) ∆CDK vuông tại K

⇒ CD là cạnh huyền nên là cạnh lớn nhất

⇒ CK < CD

Mà AK = AH (cmt)

BA = BD (cmt)

Cộng vế với vế, ta có:

CK + AK + AB < CD + AH + BD

⇒ AB + AC < BC + AH

a: Xet ΔBAD có BA=BD

nên ΔBAD cân tại B

=>\(\widehat{BAD}=\widehat{BDA}\)

b: Ta có: \(\widehat{HAD}+\widehat{BDA}=90^0\)(ΔDHA vuông tại H)

\(\widehat{DAC}+\widehat{BAD}=90^0\)

mà \(\widehat{BDA}=\widehat{BAD}\)

nên \(\widehat{HAD}=\widehat{DAC}\)

=>AD là phân giác của góc HAC

c: Xét ΔAHD vuông tại H và ΔAKD vuông tại K có

AD chung

\(\widehat{HAD}=\widehat{KAD}\)

Do đó: ΔAHD=ΔAKD

=>AH=AK

d: Xét ΔABC có AH là đường cao

nên \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

\(\left(AB+AC\right)^2-\left(BC+AH\right)^2\)

\(=AB^2+AC^2+2\cdot AB\cdot AC-BC^2-AH^2-2\cdot BC\cdot AH\)

\(=BC^2+2\cdot AH\cdot BC-BC^2-2\cdot BC\cdot AH-AH^2\)

\(=-AH^2< 0\)

=>\(\left(AB+AC\right)^2< \left(BC+AH\right)^2\)

=>AB+AC<BC+AH