\(\orbr{\begin{cases}\\\end{cases}}\)

ĐKXĐ : x khác 3

\(\frac{x+4}{x-3}=1\Rightarrow x+4=x-3\Leftrightarrow x-x=-3-4\Leftrightarrow0=-7\)( vô lí )

Vậy pt vô nghiệm

Trả lời:

\(\frac{x+4}{x-3}=1\)\(\left(đkxđ:x\ne3\right)\)

\(\Leftrightarrow x+4=x-3\)

\(\Leftrightarrow x-x=-3-4\)

\(\Leftrightarrow0x=-7\)(vô lí)

Vậy \(S=\varnothing\)

\(\left(n^2+n-1\right)^2-1=\left(n^2+n-2\right)\left(n^2+n\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+2\right)n\left(n+1\right)⋮2,3,4\)

Mà (2;3;4)=1

=> \(\left(n-1\right)\left(n+2\right)n\left(n+1\right)⋮24\)

Ta có: \(\left(n^2+n-1\right)^2-1=\left[n^2+\left(n-1\right)\right]^2-1\)

                                                   \(=n^4+2.n^2.\left(n-1\right)+\left(n-1\right)^2-1\)

                                                   \(=n^4+2n^3-n^2-2n\)

                                                   \(=n^3.\left(n +2\right)-n.\left(n+2\right)\)

                                                   \(=n.\left(n^2-1\right).\left(n+2\right)\)

                                                   \(=\left(n-1\right).n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)\)

Ta nhận thấy\(\left(n-1\right).n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)\)là tích của 4 số nguyên liên tiếp 

mà tích của 4 số nguyên liên tiếp thì luôn chia hết cho 24

\(\Rightarrow\)\(\left(n-1\right).n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)⋮24\forall x\inℤ\)

hay \(\left(n^2+n-1\right)^2-1⋮24\forall x\inℤ\)

\(A=\left(\frac{x^3-1}{x^2-x}+\frac{x^2-4}{x^2-2x}-\frac{2-x}{x}\right)\div\frac{x+1}{x}\)

a) ĐKXĐ : \(\hept{\begin{cases}x\ne0\\x\ne-1\\x\ne2\end{cases}}\)

\(=\left(\frac{x^2+x+1}{x}+\frac{x+2}{x}-\frac{2-x}{x}\right)\times\frac{x}{x+1}\)

\(=\left(\frac{x^2+x+1+x+2-2+x}{x}\right)\times\frac{x}{x+1}\)

\(=\frac{x^2+3x+1}{x}\times\frac{x}{x+1}=\frac{x^2+3x+1}{x+1}\)

b) x³ - 4x² + 3x = 0

<=> x( x² - 4x + 3 ) = 0

<=> x( x - 1 )( x - 3 ) = 0

<=> x = 0 (ktm) hoặc x = 1(tm) hoặc x = 3(tm)

Bạn tự thế các giá trị tm nhé ;)

b) Ta có: \(x^3-4x^2+3x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0\)

<=> x=0 ( loại) hoặc x=1 (loại) hoặc x=3 ( thỏa mãn)

Thay x=3 vào A ta có:

\(A=\frac{3^2+3.3+1}{3+1}=\frac{19}{4}\)

\(\frac{3\left(3-x\right)}{8}+\frac{2\left(5-x\right)}{3}=\frac{1-x}{2}-2\)

\(\Leftrightarrow\frac{9}{8}-\frac{3}{8}x+\frac{10}{3}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x-2\)

\(\Leftrightarrow-\frac{3}{8}x-\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}-2-\frac{9}{8}-\frac{10}{3}\)

\(\Leftrightarrow-\frac{13}{24}x=-\frac{143}{24}\)

\(\Leftrightarrow x=11\)

Trả lời:

\(\frac{3\left(3-x\right)}{8}+\frac{2\left(5-x\right)}{3}=\frac{1-x}{2}-2\)

\(\Leftrightarrow\frac{9\left(3-x\right)}{24}+\frac{16\left(5-x\right)}{24}=\frac{12\left(1-x\right)}{24}-\frac{48}{24}\)

\(\Leftrightarrow27-9x+80-16x=12-12x-48\)

\(\Leftrightarrow107-25x=-36-12x\)

\(\Leftrightarrow-25x+12x=-36-107\)

\(\Leftrightarrow-13x=-143\)

\(\Leftrightarrow x=11\)

Vậy \(S=\left\{11\right\}\)

-Dạng 1: Phương trình tích.

a) \(2x\left(x+1\right)=x^2-1\)\(\Leftrightarrow2x\left(x+1\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow2x\left(x+1\right)-\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(2x-x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x+1=0\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất : x = -1

b) \(x^3+3x^2-2x-2=0\)\(\Leftrightarrow\left(x^3-x^2\right)+\left(4x^2-4x\right)+\left(2x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-1\right)+4x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x+2\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x+2\right)^2-2\right]\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x+2\right)^2-2=0\\x-1=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x+2\right)^2=2\\x=1\end{cases}}}\)

Xét phương trình \(\left(x+2\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+2=\sqrt{2}\\x+2=-\sqrt{2}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{2}-2\\x=-\sqrt{2}-2\end{cases}}}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm : \(S=\left\{1;\pm\sqrt{2}-2\right\}\)

Dạng 2  ; Phương trình chứa ẩn ở mẫu.

\(\frac{3}{1-5x}+\frac{5}{3-5x}=\frac{x-27}{\left(5x-1\right)\left(5x-3\right)}\left(ĐKXĐ:x\ne\frac{1}{5};x\ne\frac{3}{5}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{1-5x}+\frac{5}{3-5x}=\frac{x-27}{\left(1-5x\right)\left(3-5x\right)}\)(phần này bạn nhớ đọc kĩ bên vế phải)

\(\Leftrightarrow\frac{3\left(3-5x\right)}{\left(1-5x\right)\left(3-5x\right)}+\frac{5\left(1-5x\right)}{\left(3-5x\right)\left(1-5x\right)}=\frac{x-27}{\left(1-5x\right)\left(3-5x\right)}\)

\(\Rightarrow3\left(3-5x\right)+5\left(1-5x\right)=x-27\)

\(\Leftrightarrow9-15x+5-25x=x-27\)

\(\Leftrightarrow14-40x=x-27\)

\(\Leftrightarrow-40x-x=-27-14\)

\(\Leftrightarrow-41x=-41\)

\(\Leftrightarrow x=1\)(thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất : x = 1.

\(3^{2n}-9\)\(⋮72\)

\(3^{2n}-9=\left(3^2\right)^n-9\)\(=9^n-9⋮9\)\(\left(1\right)\)

Ta có: 

 \(9\)đồng dư với 1 (mod 8)

\(9^n\)đồng dư với 1 (mod 8)

\(9^n-9\)đồng dư với -8 (mod 8)

\(9^n-9\)đồng dư với 0 (mod 8)

\(9^n-9\)\(⋮8\)\(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)ta suy ra:

\(3^{2n}-9\)\(⋮72\)

32n−9=(32)n−9=9n−932n−9=(32)n−9=9n−9

+Dễ thấy hiệu trên chia hết cho 9

+Ta có: 9 đồng dư với 1 

=>9ⁿ đồng dư với 1 

=>9ⁿ-9 dồng dư với -8 

=>9ⁿ-9 đồng dư với 0

=>9ⁿ-9 chia hết cho 8

Vì (8;9)=1=>3²ⁿ-9 chia hết cho 72

Chúc bn học giỏi

Gọi độ dài quãng đường AB là x (km;x>0)

Thời gian xe máy đi từ A đến B = x/60(giờ)

Thời gian xe máy đi từ B về A = x/40(giờ)

Theo bài ra ta có pt : x/40 - x/60 = 3/4

<=> x( 1/40 - 1/60 ) = 3/4

<=> x = 90 (tm)

Vậy ...

Trả lời:

Đổi: 45 phút = 3/4 giờ

Gọi x là chiều dài quãng đường AB (km/ x > 0)

=> Thời gian người đó đi từ A -> B là : x/60

     Thời gian người đó đi từ B -> A là : x/40

Vì thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 45 phút

nên ta có phương trình:

x/40 - x/60 = 3/4

<=> x ( 1/40 - 1/60 ) = 3/4

<=> x . 1/120 = 3/4

<=> x = 90 (tm)

Vậy quãng đường AB dài 90 km

Áp dụng bđt \(x^2+y^2\ge2xy\) ta có:

\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)

Tương tự: \(\frac{b}{1+c^2}=b-\frac{bc^2}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+a^2}=c-\frac{ca^2}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\left(a+b+c\right)-\frac{ab+bc+ca}{2}\)

Mặt khác:

\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)

\(\Leftrightarrow3\ge ab+ac+bc\Leftrightarrow-\left(ab+bc+ac\right)\ge-3\)

\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu '=' xảy ra <=> a=b=c=1

\(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a+ab^2-ab^2}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\)

chứng minh tương tự

AM - GM cho \(1+b^2\)ta được : \(1+b^2\ge2\sqrt{b^2}=2b\)

\(\Rightarrow a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)

chứng minh tương tự ta có đpcm