Ta có: \(1^2+2^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)

 ( Em có thể tìm ra được rất nhiều cách chứng minh đẳng thức trên ) 

=> \(lim\frac{1^2+2^2+3^2+...+n^2}{4n\left(n+4\right)\left(3n+2\right)}=lim\frac{\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}}{4n\left(n+4\right)\left(3n+2\right)}\)

\(=lim\frac{1\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)}{24\left(1+\frac{4}{n}\right)\left(3+\frac{2}{n}\right)}=\frac{1}{36}\)

câu này dễ mà bạn

1) Đặt: \(f\left(x\right)=\left(m^2+8\right)x^5-x^2-2\) liên tục trên R ( hàm đa thức)

Có:  \(f\left(0\right)=-2< 0\) và \(f\left(1\right)=m^2+8-1-2=m^2+5>0\)

=> \(f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\)

=> Tồn tại c \(\in\left(0;1\right)\)sao cho f(c) = 0 

=> Phương trình \(f\left(x\right)=\left(m^2+8\right)x^5-x^2-2\)=0 có ít nhất 1 nghiệm.

2) lim ( x --> 5) \(\frac{x^2-6x+5}{\sqrt{4+x}-3}\)

= lim ( x --> 5) \(\frac{\left(x-1\right)\left(x-5\right)}{\frac{x-5}{\sqrt{4+x}+3}}\)

= lim ( x--->5) \(\left(x-1\right)\left(\sqrt{4+x}+3\right)=\left(5-1\right)\left(\sqrt{4+5}+3\right)=24\)

b)  \(3\left(1-2x\right)^{20}\left(3x-2\right)^{10}\left(-14\left(3x-2\right)+11\left(1-2x\right)\right)\)

Cách 1:

\(f\left(x\right)=\left(x^2-7x\right)\left(4x^3-2x^2-5x\right)=4x^5-30x^4+9x^3+35x^2\)

\(f'\left(x\right)=20x^4-120x^3+27x^2+70x\)

Cách 2: 

\(f\left(x\right)=\left(x^2-7x\right)\left(4x^3-2x^2-5x\right)\)

\(f'\left(x\right)=\left(x^2-7x\right)'\left(4x^3-2x^2-5x\right)+\left(x^2-7x\right)\left(4x^3-2x^2-5x\right)'\)

\(f'\left(x\right)=\left(2x-7\right)\left(4x^3-2x^2-5x\right)+\left(x^2-7x\right)\left(12x^2-4x-5\right)\)

Bla bla.... Tự tách ra

\(f'\left(x\right)=20x^4-120x^3+27x^2+70\)