Đặt A = 10.11 + 11.12 + ... + 29.30

ta có : 3A = 10.11.3 + 11.12.3 + ... + 29.30.3 

3A = 10.11.(12-9) + 11.12.(13-10) + ... + 29.30.(31-28) 

3A = 10.11.12 - 9.10.11 + 11.12.13 - 10.11.12+ ... + 29.30.31 - 28.29.30 

3A = (10.11.12 + 11.12.13 + ... + 29.30.31) - (9.10.11 + 10.11.12 + ... + 28.29.30) 

3A = 29.30.31 - 9.10.11 

3A = 26970 - 990

3A = 25980

A = 25980 : 3 

A = 8660

Vậy A = 8660 

\(\frac{1}{1.2.3.4}+\frac{1}{2.3.4.5}+...+\frac{1}{47.48.49.50}\)

\(=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{1.2.3}-\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{2.3.4}-\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{47.48.49}-\frac{1}{48.49.50}\right)\)

\(=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{1.2.3}-\frac{1}{48.49.50}\right)\)

\(=\frac{1}{3}\cdot\frac{6533}{39200}=\frac{6533}{117600}\)

b)  \(A=3^1+3^2+3^3+...+3^{2006}\)

\(=3+3^2+\left(3^3+3^4+3^5+3^6\right)+....+\left(3^{2003}+3^{2004}+3^{2005}+3^{2006}\right)\)

\(=12+3^3\left(1+3+3^2+3^3\right)+...+3^{2003}\left(1+3+3^2+3^3\right)\)

\(=12+\left(1+3+3^2+3^3\right)\left(3^3+...+3^{2003}\right)\)

\(=12+40\left(3^3+...+3^{2003}\right)\)

\(=12+.....0=.....2\)

Vậy A có tận cùng là chữ số 2

a)  \(A=3^1+3^2+3^3+...+3^{2006}\)

\(\Rightarrow\)\(3A=3^2+3^3+3^4+...+3^{2007}\)

\(\Rightarrow\)\(3A-A=3^{2007}-3\)

\(\Rightarrow\)\(2A=3^{2007}-3\)

\(\Rightarrow\)\(A=\frac{3^{2007}-3}{2}\)

\(\left(\frac{3}{7}+\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{13}{14}\right)^2=\frac{169}{196}\)

\(\frac{5^4\cdot20^4}{25^5\cdot4^5}=\frac{5^4\cdot4^4\cdot5^4}{5^5\cdot5^5.4^5}=\frac{1}{100}\)

\(\left(\frac{3}{7}\right)^{21}:\left(\frac{9}{49}\right)^6=\left(\frac{3}{7}\right)^{21}:\left[\left(\frac{3}{7}\right)^2\right]^6=\left(\frac{3}{7}\right)^{21}:\left(\frac{3}{7}\right)^{12}=\left(\frac{3}{7}\right)^9\)

\(3-\left(-\frac{6}{7}\right)^0+\left(\frac{1}{2}\right)^2:2\)

\(=3-1+\frac{1}{4}:2=3-1+\frac{1}{8}=\frac{17}{8}\)

c) x^10=1024

=> x=2

Gọi số học sinh của trường là a

Vì  số học sinh của trương xếp hàng 3,hàng 4,hàng 5 không thừa học sinh nào nên a\(\in\)BC(3,4,5) và 900<a<1000

Ta có :BCNN(3,4,5)=3.\(2^2\).5=60

Suy ra :BC(3,4,5)=B(60)={0,60,120,180,240,300..........,900,960,1020,...}

Vì 900<a<1000 nên a=960

Vậy trường đó có 960 học sinh

Bài 2:

Ta có :3*5 chia hết cho 3 suy ra 3+*+5 chia hết cho 3

             Hay *+8 chia hết cho 3 

Vậy *=1

Ta có *63* chia hết cho 2,3,5,9

Suy ra *63*=*630 vì nó chia hết cho 2 và 5

Vì *630 không thể bằng 0630 nên *630=9630

 Vậy *63*=9630

2A= 2.( 2¹ + 2² + 2³ +...+ 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰ )

2A= 2² + 2³ + 2⁴ + ...+ 2⁹⁹ + 2¹⁰¹

2A - A = (2² + 2³ + 2⁴ + ...+ 2⁹⁹ + 2¹⁰¹) - ( 2¹ + 2² + 2³ +...+ 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰ ) 

A        = 2¹⁰¹ - 2 

Vậy A  = 2¹⁰¹ - 2 

b, Số số hạng của A là : (100 - 1) + 1 = 100 (số hạng) 

Nếu nhóm 4 số hạng vào một nhóm thì số nhóm là : 

100 : 4      = 25 (nhóm) 

Ta có : 

A  =  (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸) + ... + (2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰) 

A  = 2(1 + 2 + 2² + 2³)  + 2⁵(1 + 2 + 2² + 2³) + ... + 2⁹⁷(1 + 2 + 2² + 2³) 

A  = 2.15 + 2⁵ . 15 +...+ 2⁹⁷.15 

A = 15.(2 + 2⁵ + ... + 2⁹⁷) \(⋮\)5 

Vậy A \(⋮\)5 

C/M A chia hết cho 31 

Nếu nhóm 5 số hạng vào một nhóm thì số nhóm là : 

A = (2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵) + (2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ + 2¹⁰) + ... + (2⁹⁶ + 2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰) 

A = 2.(1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴) + 2⁶(1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴) + ... + 2⁹⁶(1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴) 

A = 2.31 + 2⁶.31 + ... + 2⁹⁶.31 

A = 31.(2 + 2⁶ + ... 2⁹⁶) \(⋮\)31 

Vậy A \(⋮\)31

Ta thấy:

1.4 = 1.(1 + 3) = 1.(1 + 1 + 2) = 1.(1 + 1)+ 2.1

2.5 = 2.(2 + 3) = 2.(2 + 1 + 2) = 2.(2 + 1)+ 2.2

3.6 = 3.(3 + 3) = 3.(3 + 1 + 2) = 3.(3 + 1)+ 2.3

4.7 = 4.(4 + 3) = 4.(4 + 1 + 2) = 4.(4 + 1)+ 2.4

. . . . . . . . . . .

n(n + 3) = n(n + 1) + 2n

Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + . . . + n(n + 1) + 2n

= 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + . . . + n(n + 1) + 2n

= [1.2 +2.3 +3.4 + . . . + n(n + 1)] + (2 + 4 + 6 + . . . + 2n)

Mà 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) =\(\frac{n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)}{3}\)

Và 2 + 4 + 6 + . . . + 2n =\(\frac{\left(2n+2\right).n}{2}\)

=> C=\(\frac{n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)}{3}+\frac{\left(2n+2\right).n}{2}-\frac{n.\left(n+1\right).\left(n+5\right)}{3}\)

hok tốt

Ta có : 

\(C=1.4+2.5+3.6+...+n\left(n+3\right)\)

\(\Rightarrow C=1\left(2+2\right)+2\left(3+2\right)+3\left(4+2\right)+...+n\left(n+1+2\right)\)

\(\Rightarrow C=1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+n\left(n+1\right)+n.2\)

 \(\Rightarrow C=\left(1.2+2.3+3.4+...+n\left(n+1\right)\right)+2\left(1+2+3+...+n\right)\)

 \(\Rightarrow C=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}+2\left(\frac{\left(n+1\right).n}{2}\right)\)  

\(\Rightarrow C=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}+\left(n+1\right)n\)

~ 

3.27.8+2.39.12+4.34.6

=(3.8).27+(12.2).39+(4.6).34

=24.27+24.39+24.34

=24.(27+39+34)

=24.100

=2400

3.27.8+2.39.12+4.34.6

=3.8.27+2.12.39+4.6.34

=24.27+24.39+24.34

=24.(27+39+34)

=24.100=2400