Gọi thời gian người thứ nhất và người thứ hai hoàn thành công việc khi làm một mình lần lượt là x(giờ) và y(giờ)

(Điều kiện: x>6; y>0)

Người thứ hai hoàn thành công việc nhanh hơn người thứ nhất là 6 giờ nên x-y=6(1)

Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được: \(\dfrac{1}{x}\)(công việc)

Trong 1 giờ, người thứ hai làm được: \(\dfrac{1}{y}\)(công việc)

Trong 1 giờ, hai người làm được: \(\dfrac{1}{4}\)(công việc)

Do đó, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{4}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=6\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y+6\\\dfrac{1}{y+6}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y+y+6}{y^2+6y}=\dfrac{1}{4}\\x=y+6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^2+6y=4\left(2y+6\right)=8y+24\\x=y+6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y^2+6y-8y-24=0\\x=y+6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^2-2y-24=0\\x=y+6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(y-6\right)\left(y+4\right)=0\\x=y+6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}y=6\left(nhận\right)\\y=-4\left(loại\right)\end{matrix}\right.\\x=y+6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=6\\x=6+6=12\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

Vậy: thời gian người thứ nhất và người thứ hai hoàn thành công việc khi làm một mình lần lượt là 12(giờ) và 6(giờ)

Gọi thời gian làm 1 mình xong việc của người thứ nhất là x giờ, của người thứ hai là y giờ (với x;y>0)

Do người thứ nhất làm 1 mình cần nhiều hơn người thứ hai là 12 giờ nên:

\(x-y=12\) (1)

Trong 1 giờ người thứ nhất làm được \(\dfrac{1}{x}\) phần công việc

Trong 1 giờ người thứ hai làm được \(\dfrac{1}{y}\) phần công việc

Do 2 người làm chung trong 8 giờ xong việc nên:

\(8\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=1\Rightarrow8x+8y=xy\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=12\\8x+8y=xy\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y+12\\8\left(y+12\right)+8y=y\left(y+12\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y+12\\y^2-4y-96=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=12\Rightarrow x=24\\y=-8< 0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Delta'=\left(m-2\right)^2-\left(m^2-2m+2\right)=-2m+2>0\Rightarrow m< 1\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-2\right)\\x_1x_2=m^2-2m+2\end{matrix}\right.\)

\(\left|\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2\right|=3\)

\(\Leftrightarrow\left|2\left(m-2\right)+m^2-2m+2\right|=3\)

\(\Leftrightarrow\left|m^2-2\right|=3\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2-2=3\\m^2-2=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2=5\\m^2=-1\left(vn\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\sqrt{5}>1\left(loại\right)\\m=-\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=-\sqrt{5}\)

`sqrt{6x - 2} = 4`

`ĐKXĐ: 6x - 2 >=0 <=> x >=1/3`

`Pt <=> 6x - 2 = 16`

`<=> 6x = 18`

`<=> x = 3 ` (Thỏa mãn)

Vậy ...

ĐKXĐ: \(x\ge\dfrac{1}{3}\)

\(\sqrt{6x-2}=4\)

\(\Leftrightarrow6x-2=16\)

\(\Leftrightarrow6x=18\)

\(\Leftrightarrow x=3\)

a) `3x+m(y-1)=2`

`<=> (y-1)m=2-3x`

`<=>y-1=0` và `2-3x=0`

`<=>y=1` và `3x=2`

`<=>y=1` và `x=2/3` 

=>  Đường thẳng luôn đi qua điểm `(2/3;1)` cố định với mọi m 

b) `mx+(m-2)y=m`

`<=>mx+my-2y=m`

`<=>mx+my-m=2y`

`<=>m(x+y-1)=2y`

`<=>x+y-1=0` và `2y=0`

`<=>x+y=1` và `y=0`

`<=>x=1` và `y=0` 

=> Đường thẳng luôn đi qua điểm `(1;0)` cố định với mọi m 

Vì a>b

nên 4a>4b

=>4a+7>4b+7

mà 4b+7>4b+5

nên 4a+7>4b+5

Vì: \(a>b\) nên nhân a,b với \(4\), ta có:

\(4a>4b\)

Biết: \(7>5\)

\(\rightarrow4a+7>7b+5\left(đpcm\right)\)

`{(-6x + 3y = -3),(-10x - y = -5 - 3xy):}`

`<=> {(-2x + y = -1),(-10x - y = -5 - 3xy):}`

`<=> {(y =2x -1),(-10x - y = -5 - 3xy):}`

`<=> {(y =2x -1),(-10x - (2x -1) = -5 - 3x(2x -1)(1)):}`

Từ (1) `<=> -10x - 2x + 1 = -5x - 6x^2 + 3x`

`<=> 6x^2 - 3x + 5 -10x - 2x + 1 = 0 `

`<=> 6x^2 - 15x + 6 = 0`

`<=> 2x^2 - 5x + 2 = 0`

`<=> (2x^2 - 4x) - (x - 2) = 0`

`<=> 2x(x-2) - (x-2) = 0`

`<=> (2x - 1)(x-2) = 0`

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\x=2\end{matrix}\right.\)

Hệ phương trình <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\x=2\end{matrix}\right.\\y=2x-1\end{matrix}\right.\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\y=0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

ĐKXĐ: \(0\le x\le5\)

\(A=\dfrac{1}{\sqrt{35}}.\left(\sqrt{5x\left(35-7x\right)}+\sqrt{7x\left(35-5x\right)}\right)\)

\(A\le\dfrac{1}{2\sqrt{35}}\left(5x+35-7x+7x+35-5x\right)\)

\(A\le\sqrt{35}\)

\(A_{max}=\sqrt{35}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}5x=35-7x\\7x=35-5x\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\dfrac{35}{12}\)