Gọi số học sinh của lớp 10 Toán và lớp 10 Tin theo kế hoạch lần lượt là x(bạn) và y(bạn)

(Điều kiện: \(x,y\in Z^+\))

Tổng số học sinh là 63 bạn nên x+y=63(1)

Số học sinh lớp Toán sau khi chuyển 3 bạn là x-3(bạn)

Số học sinh lớp Tin sau khi nhận thêm 3 bạn là y+3(bạn)

4 lần số học sinh lớp toán bằng 5 lần số học sinh lớp tin nên 4(x-3)=5(y+3)

=>4x-12=5y+15

=>4x-5y=27(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=63\\4x-5y=27\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4x+4y=252\\4x-5y=27\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9y=225\\x+y=63\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=25\\x=63-25=38\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

vậy: số học sinh của lớp 10 Toán và lớp 10 Tin theo kế hoạch lần lượt là 38 bạn và 25 bạn

Xét (O) có

\(\widehat{BAM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM

\(\widehat{CAM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM

\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)

Do đó: \(sđ\stackrel\frown{BM}=sđ\stackrel\frown{CM}\)

=>BM=CM

=>M nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của BC

=>OM đi qua trung điểm của BC

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\dfrac{1}{2}x^2=x\)

=>\(\dfrac{1}{2}x^2-x=0\)

=>\(x\left(\dfrac{1}{2}x-1\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

Thay x=0 vào y=x, ta được:

y=x=0

Thay x=2 vào y=x, ta được:

y=x=2

Vậy: Tọa độ giao điểm là O(0;0); A(2;0)

Bài 6:

Gọi số học sinh của lớp 9A và lớp 9B lần lượt là a(bạn),b(bạn)

(Điều kiện: \(a,b\in Z^+\))

Tổng số học sinh là 105 nên a+b=105(1)

Số cây lớp 9A trồng được là 4a(cây)

Số cây lớp 9B trồng được là 5b(cây)

Tổng số cây hai lớp trồng được là 472 cây nên 4a+5b=472(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=105\\4a+5b=472\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4a+4b=420\\4a+5b=472\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-b=-52\\a+b=105\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}b=52\\a=105-52=53\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

Vậy: số học sinh của lớp 9A và lớp 9B lần lượt là 53 bạn và 52 bạn

Bài 5:

Gọi số học sinh của lớp 9B và lớp 9C lần lượt là a(bạn),b(bạn)

(Điều kiện: \(a,b\in Z^+\))

Tổng số học sinh là 78 nên a+b=78(3)

Số cây lớp 9B trồng được là 3a(cây)

Số cây lớp 9C trồng được là 4b(cây)

Tổng số cây hai lớp trồng được là 274 cây nên 3a+4b=274(4)

Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}3a+4b=274\\a+b=78\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3a+4b=274\\3a+3b=234\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=40\\a=78-b=78-40=38\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

Vậy: số học sinh của lớp 9B và lớp 9C lần lượt là 38 bạn và 40 bạn

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$abc\leq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3=(\frac{1}{3})^3=\frac{1}{27}$

$(a+b)(b+c)(c+a)\leq \left(\frac{a+b+b+c+c+a}{3}\right)^3=\left(\frac{2(a+b+c)}{3}\right)^3=(\frac{2}{3})^3=\frac{8}{27}$
$\Rightarrow abc(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{1}{27}.\frac{8}{27}=\frac{8}{729}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Như vậy đề có vẻ sai sai đó bạn.

Đề tham khảo chắc chưa được thẩm định kĩ.

\(\left\{{}\begin{matrix}45\left(t+\dfrac{1}{2}\right)=S\\60\left(t-\dfrac{3}{4}\right)=S\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}45\left(t+\dfrac{1}{2}\right)=60\left(t-\dfrac{3}{4}\right)\\S=45\left(t+\dfrac{1}{2}\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(t+\dfrac{1}{2}\right)=4\left(t-\dfrac{3}{4}\right)\\S=45\left(t+\dfrac{1}{2}\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3t+1,5=4t-3\\S=45\left(t+0,5\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-t=-4,5\\S=45\left(t+0,5\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}t=4,5\\S=45\left(4,5+0,5\right)=45\cdot5=225\end{matrix}\right.\)