Đặt \(A=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\left(a,b,c>0\right)\)

Trước hết, ta chứng minh bất đẳng thức:

\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)với \(x,y>0\)\(\left(1\right)\).

Thật vậy, giả sử \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)với \(x,y>0\).

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-xy\left(x+y\right)\ge0\).

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\).

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi \(x,y>0\)).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x-y=0\Leftrightarrow x=y>0\).

Áp dụng bất đẳng thức \(\left(1\right)\)với \(a,b>0\), ta được:

\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\).

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b\right)=ab\left(a+b\right)+abc\).

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+1\ge ab\left(a+b+c\right)\)(vì \(abc=1\)).

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\).

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3+b^3+c^3}\ge\frac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{a+b+c}\)(vì \(abc=1\)) \(\left(2\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b>0\)

.Chứng minh tương tự, ta được:

\(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{a}{a+b+c}\)với \(b,c>0\)\(\left(3\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow b=c>0\).
Chứng minh tương tự, ta được:

\(\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{b}{a+b+c}\)với \(c,a>0\)\(\left(4\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=c>0\).

Từ \(\left(2\right),\left(3\right),\left(4\right)\), ta được:

\(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\ge\frac{c}{a+b+c}+\)\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}\).

\(\Leftrightarrow A\ge\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c>0\).

Vậy \(min\left(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\right)=1\)\(\Leftrightarrow a=b=c>0\).

\(\)

Nhầm, \(max\)nhé, mà sau "Từ \(\left(2\right),\left(3\right),\left(4\right)\), ta được" thì hãy sửa lại dấu \(\ge\)thành \(\le\).

Điều kiện:\(\hept{\begin{cases}x\ge0\\9-x\ne0\\\sqrt{x}-2\ne0\end{cases}}\)<=>\(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne9\\x\ne\pm4\end{cases}}\)

P=(\(\frac{2\sqrt{x}}{9-x}+\frac{1}{3+\sqrt{x}}\))\(\frac{x\left(3-\sqrt{x}\right)}{3+\sqrt{x}}\)

=\(\frac{2\sqrt{x}+3-\sqrt{x}}{\left(3+\sqrt{x}\right)\left(3-\sqrt{x}\right)}\).\(\frac{x\left(3-\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}-2}\)

=\(\frac{3+\sqrt{x}}{\left(3+\sqrt{x}\right)\left(3-\sqrt{x}\right)}.\frac{x\left(3-\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}-2}\)

=\(\frac{x}{\sqrt{x}-2}\)(với x>=0; x khác 9; x khác +- 4)

thứ vô duyên cà chớn

chuc mung ban da duoc ve bc

thế đi, ra y = 1/(m-3) xong thay vào pt 1 ,ở trên á, đc x = 3/(m-3)
Thay vào X+y = 1. =]

. Đã tồn tại ở dạng 2 chân
– Thì đừng hành xử theo kiểu 4 cẳnglam1234 nhá

là 7666 chúc học tốt